[论文解读] A faster algorithm for the discrete Fréchet distance under translation

Avraham, Rinat Ben, Kaplan, Haim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 14被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种在平面中通过平移计算两组点序列之间最小离散弗雷歇距离的更快算法。它使用一个动态数据结构来维护距离阈值的0/1矩阵表示中的可达性，从而在平移空间的参数搜索过程中实现高效的更新和查询，将时间复杂度优化至 O(m³n²(1 + log(n/m)) log(m + n))，其中 m ≤ n。

ABSTRACT

The (discrete) Fréchet distance (DFD) is a popular similarity measure for curves. Often the input curves are not aligned, so one of them must undergo some transformation for the distance computation to be meaningful. Ben Avraham et al. [Rinat Ben Avraham et al., 2015] presented an O(m^3n^2(1+log(n/m))log(m+n))-time algorithm for DFD between two sequences of points of sizes m and n in the plane under translation. In this paper we consider two variants of DFD, both under translation. For DFD with shortcuts in the plane, we present an O(m^2n^2 log^2(m+n))-time algorithm, by presenting a dynamic data structure for reachability queries in the underlying directed graph. In 1D, we show how to avoid the use of parametric search and remove a logarithmic factor from the running time of (the 1D versions of) these algorithms and of an algorithm for the weak discrete Fréchet distance; the resulting running times are thus O(m^2n(1+log(n/m))), for the discrete Fréchet distance, and O(mn log(m+n)), for its two variants. Our 1D algorithms follow a general scheme introduced by Martello et al. [Martello et al., 1984] for the Balanced Optimization Problem (BOP), which is especially useful when an efficient dynamic version of the feasibility decider is available. We present an alternative scheme for BOP, whose advantage is that it yields efficient algorithms quite easily, without having to devise a specially tailored dynamic version of the feasibility decider. We demonstrate our scheme on the most uniform path problem (significantly improving the known bound), and observe that the weak DFD under translation in 1D is a special case of it.

研究动机与目标

• 计算当 Q 相对于 P 平移时，R² 中两组点序列 P 和 Q 之间的最小离散弗雷歇距离。
• 改进 Jiang 等人针对同一问题提出的先前 O(m³n³ log(m + n)) 时间复杂度算法。
• 开发一种高效的动态数据结构，支持在平移引起的动态变化下对 0/1 矩阵中的快速更新和可达性查询。
• 应用参数搜索技术以优化决策过程并减少整体运行时间。

提出的方法

• 将平移平面划分为 O(m²n²) 个区域 Aδ，使得对于固定的距离阈值 δ，矩阵 M(P, Q) 保持不变。
• 使用一个动态数据结构 Γ(M)，支持在 M 中单个条目变化时以 O(m(1 + log(n/m))) 时间完成更新，并以 O(1) 时间完成从 (1,1) 到 (m,n) 的可达性查询。
• 在 δ 的临界值上应用参数搜索，使用一种决策过程来检查 M 中是否存在一条单调的 1 路径。
• 通过使用 O(mn) 个处理器和 O(log(m + n)) 步骤，模拟沿圆形曲线的交点并行排序，以解决与临界曲率半径的比较问题。
• 采用 Cole 的优化方法，通过使用未解决临界值的加权中位数，将二分搜索减少为每个并行步骤仅调用一次决策过程。
• 将动态可达性结构与参数搜索相结合，以计算在平移下的最小离散弗雷歇距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够比 Jiang 等人提出的 O(m³n³ log(m + n)) 边界更快地计算平移下的离散弗雷歇距离？
• RQ2 是否可能使用一种更新成本为亚二次的动态数据结构，在平移引起的动态变化下维护 0/1 矩阵中的可达性？
• RQ3 是否可以高效地将参数搜索应用于使用动态决策过程的平移问题？
• RQ4 几何约束（例如 c-打包曲线）对平移排列 Aδ 的复杂度有何影响？
• RQ5 通过基于局部邻域性质的粗化排列限制搜索范围，是否可以进一步提升整体运行时间？

主要发现

• 该论文在 R² 中通过平移计算最小离散弗雷歇距离的时间复杂度达到 O(m³n²(1 + log(n/m)) log(m + n))，优于先前的 O(m³n³ log(m + n)) 上限。
• 动态数据结构 Γ(M) 支持在 O(m(1 + log(n/m))) 时间内完成条目更新，且可达性查询时间为 O(1)，假设 m ≤ n。
• 采用 Cole 的参数搜索优化方法，将决策过程调用次数从 O(log²(m + n)) 减少至 O(log(m + n)) 步，显著提升了整体效率。
• 对于具有均匀采样的 c-打包曲线，算法可进一步优化为 O((cδ∗ₜ/Δ)² m³(1 + log(n/m)) log(m + n)) 时间，其中 δ∗ₜ 为最优平移距离。
• 当 δ∗ₜ ≤ ∆ 时，运行时间变为 O(c²m³(1 + log(n/m)) log(m + n))，表明在低失真区域性能更优。
• 该算法表明，决策过程可使用 O(m²n²) 个处理器和 O(log(m + n)) 步骤在并行环境中高效模拟，从而支持可扩展的参数搜索。