[论文解读] A finitely presented ${E}_{\infty}$-prop II: cellular context

Anibal M. Medina-Mardones|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文构建了一个有限表示的细胞态普罗普（cellular prop），记为 $\tilde{\mathcal{S}}$，其对应的运算族是一个 $E_\infty$-运算族模型。通过 $\tilde{\mathcal{S}}$ 在区间上诱导的 $E_\infty$-双代数结构，作者推导出单纯集的几何实现上自然存在的 $E_\infty$-余代数结构，该结构在符号差异的意义下恢复了 Barratt-Eccles 与单纯映射余代数结构。该构造为这些经典代数结构提供了细胞态、组合式的实现方式。

ABSTRACT

We construct, using finitely many generating cell and relations, props in the category of CW-complexes with the property that their associated operads are models for the $E_\infty$-operad. We use one of these to construct a cellular $E_\infty$-bialgebra structure on the interval and derive from it a natural cellular $E_\infty$-coalgebra structure on the geometric realization of a simplicial set which, passing to cellular chains, recovers up to signs the Barratt-Eccles and Surjection coalgebra structures introduced by Berger-Fresse and McClure-Smith. We use another prop, a quotient of the first, to relate our constructions to earlier work of Kaufmann and prove a conjecture of his. This is the second of two papers in a series, the first investigates analogue constructions in the category of chain complexes.

研究动机与目标

• 构建一个在 CW 复形范畴中有限表示的细胞态普罗普，其对应的运算族是 $E_\infty$-运算族的模型。
• 在单纯集的归一化链上，提供 Barratt-Eccles 与单纯映射余代数结构的细胞态、几何实现。
• 通过证明 $\mathcal{MS}$ 普罗普同构于一个弧面普罗普（Arc Surface prop），从而验证 Kaufmann 的一个猜想。
• 在区间上建立自然的 $E_\infty$-双代数结构，由此导出单纯集几何实现上的 $E_\infty$-余代数结构。

提出的方法

• 使用生成胞腔与关系，对细胞态普罗普 $\tilde{\mathcal{S}}$ 进行有限表示，其同伦型定义明确。
• 通过 $\tilde{\mathcal{S}}$ 的细胞链，利用四个关键映射，在区间 $\mathrm{I} = [0,1]$ 上构造 $E_\infty$-双代数结构。
• 利用区间上的 $E_\infty$-双代数结构，诱导出任意单纯集的几何实现上的自然 $E_\infty$-余代数结构。
• 从 $\tilde{\mathcal{S}}$ 定义两个商普罗普 $\mathcal{S}$ 与 $\mathcal{MS}$，并证明 $\mathcal{MS}$ 同构于一个弧面普罗普。
• 证明 $\mathcal{MS}$ 的细胞链同构于单纯映射运算族（up to signs），从而验证 Kaufmann 的一个猜想。
• 利用输入-输出对偶性，将普罗普中的余积与积与弦拓扑中的 Chas-Sullivan 乘积及 Goresky-Hingston 余积联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 CW 复形范畴中有限表示的细胞态普罗普，在区间上构造出 $E_\infty$-双代数结构？
• RQ2 该区间上的双代数结构如何诱导出单纯集几何实现上的自然 $E_\infty$-余代数结构？
• RQ3 $\mathcal{MS}$ 普罗普是否如同 Kaufmann 所猜想的那样，同构于一个弧面普罗普？
• RQ4 Barratt-Eccles 与单纯映射余代数结构是否可由区间上单一的细胞态 $E_\infty$-双代数结构恢复（至符号差异）？
• RQ5 所构造普罗普的细胞链与单纯映射运算族的代数模型之间的确切关系为何？

主要发现

• 普罗普 $\tilde{\mathcal{S}}$ 通过生成胞腔与关系实现有限表示，其细胞链同构于文献 [MM20c] 中引入的代数普罗普。
• 与 $\mathcal{MS}$ 关联的运算族的细胞链同构于单纯映射运算族（up to signs），从而证实了 Kaufmann 的一个猜想。
• 通过四个映射在区间上构造出 $E_\infty$-双代数结构，该结构诱导出任意单纯集几何实现上的自然 $E_\infty$-余代数结构。
• Barratt-Eccles 与单纯映射余代数结构在符号差异的意义下，均可由区间的 $E_\infty$-双代数结构恢复。
• $\mathcal{MS}$ 普罗普同构于一个弧面普罗普，其细胞链作用于归一化半单 Frobenius 代数的 Hochschild 上链复。
• 普罗普中的余积与积，通过输入-输出对偶性，分别对应于 [Kau18] 形式化中的 Chas-Sullivan 乘积与 Goresky-Hingston 余积。