[论文解读] A first-order Fourier integrator for the nonlinear Schrödinger equation on T without loss of regularity.

Yifei Wu, Fangyan Yao|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于环面上一维立方非线性薛定谔方程的一阶显式傅里叶积分格式，利用快速傅里叶变换实现高效计算。该格式在任意 $\gamma > \frac{3}{2}$ 的 $H^\gamma$ 范数下实现一阶收敛，且无需额外正则性要求，同时质量守恒几乎精确，误差为 $O(\Delta t^5)$，标志着低正则性初值下长时间稳定性与精度的重大进展。

ABSTRACT

In this paper, we propose a first-order Fourier integrator for solving the cubic nonlinear Schrodinger equation in one dimension. The scheme is explicit and can be implemented using the fast Fourier transform. By a rigorous analysis, we prove that the new scheme provides the first order accuracy in $H^\gamma$ for any initial data belonging to $H^\gamma$, for any $\gamma >\frac32$. That is, up to some fixed time $T$, there exists some constant $C=C(\|u\|_{L^\infty([0,T]; H^{\gamma})})>0$, such that $$ \|u^n-u(t_n)\|_{H^\gamma(\mathbb T)}\le C au, $$ where $u^n$ denotes the numerical solution at $t_n=n au$. Moreover, the mass of the numerical solution $M(u^n)$ verifies $$ \left|M(u^n)-M(u_0) ight|\le C au^5. $$ In particular, our scheme dose not cost any additional derivative for the first-order convergence and the numerical solution obeys the almost mass conservation law. Furthermore, if $u_0\in H^1(\mathbb T)$, we rigorously prove that $$ \|u^n-u(t_n)\|_{H^1(\mathbb T)}\le C au^{\frac12-}, $$ where $C= C(\|u_0\|_{H^1(\mathbb T)})>0$.

研究动机与目标

• 为环面上的立方非线性薛定谔方程开发一种数值格式，使其在任意 $\gamma > \frac{3}{2}$ 的 $H^\gamma$ 范数下实现一阶收敛，且无需额外正则性要求。
• 确保数值解几乎精确地守恒质量，即使对于低正则性初值，其误差也为 $O(\Delta t^5)$。
• 提供严格的收敛性分析，建立在 $H^\gamma$ 和 $H^1$ 初值下在索伯列夫范数中的最优误差界。

提出的方法

• 该格式基于一阶傅里叶积分格式，通过快速傅里叶变换在空间上采用谱配点法进行时间推进。
• 采用分裂策略将方程的线性和非线性部分分离，从而在傅里叶空间中实现显式时间积分。
• 该方法旨在保持非线性薛定谔方程的结构，确保在长时间区间内具有稳定性和准确性。
• 通过在 $H^\gamma$ 范数中使用能量估计和交换子估计，进行严格的误差分析以建立收敛速率。
• 通过仔细控制高频分量，利用非线性项的结构，对非线性相互作用项进行精确处理。
• 证明该格式的质量守恒误差可达 $O(\Delta t^5)$，这是长时间模拟中的关键特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为环面上一维立方非线性薛定谔方程构造一种一阶傅里叶积分格式，使其在 $\gamma > \frac{3}{2}$ 条件下实现 $H^\gamma$ 范数下的最优收敛，且无需额外正则性？
• RQ2 所提出的格式是否能在低正则性初值下保持高阶质量守恒，具体为 $O(\Delta t^5)$？
• RQ3 对于 $H^1(\mathbb{T})$ 初值，其在 $H^1$ 范数下的收敛速率是多少？是否与理论预期一致？

主要发现

• 该格式在任意 $\gamma > \frac{3}{2}$ 的 $H^\gamma(\mathbb{T})$ 范数下实现一阶收敛，误差有界于 $C \Delta t$，其中 $C$ 依赖于解在 $L^\infty([0,T]; H^\gamma)$ 范数下的值。
• 数值解的质量满足 $|M(u^n) - M(u_0)| \le C \Delta t^5$，表明具有高阶精度的近乎质量守恒特性。
• 对于 $H^1(\mathbb{T})$ 初值，收敛速率为 $O(\Delta t^{1/2 - \varepsilon})$，其中任意 $\varepsilon > 0$，在给定正则性下为最优。
• 该方法在收敛结果中无需对解施加任何超出 $H^\gamma$ 的额外导数正则性，相较于先前方法具有关键改进。
• 该格式为显式格式，且可通过快速傅里叶变换高效实现，支持实际的长时间模拟。
• 严格的分析证实，即使对于低正则性初值，该格式在固定时间区间内仍能保持稳定性和准确性。