[论文解读] A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Alois Schiessl|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2026

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一句话总结

该论文引入一个固定点迭代，用任意奇数阶收敛度 2P+1 计算圆周率，使用基于正弦的有限级数 S(x) 并迭代 x_{n+1}=x_n+S(x_n)。

ABSTRACT

In this paper, we present a fixed point method for high-precision computation of number $π$ based on the sine function. Let $P\in \mathbb{N}$. We define the function: \[ S\left(x ight) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell} ight)\frac{\sin\left(x ight)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\,. \] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $π$, the sequence \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n} ight)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $π$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1 ight)$. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. \[\] \[ extbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung der Kreiszahl $π$ auf Basis der sinus Funktion vor. Es sei $P\in \mathbb{N}$. Wir definieren die Funktion: \[ S\left(x ight) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell} ight)\frac{\sin\left(x ight)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\;. \] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $π$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n} ight)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $π$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1 ight)$. Anhand von praktischen Berechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[ ext{Deutsche Version ab Seite 19}\]

研究动机与目标

• 推动高精度圆周率计算并利用正弦函数获得高阶收敛。
• 定义基于反正弦级数与正弦幂的固定点框架 S(x)，将 pi 作为固定点。
• 建立收敛性性质，包括严格的收敛阶（2P+1）与在 pi 处的导数行为。
• 提供实际实现细节，包括系数预计算与高精度 pi 的迭代方案。
• 通过数值测试与高精度计算展示实际效率。

提出的方法

• 定义 S(x) = x + sum_{k=1}^{P} (prod_{l=1}^{k-1} (2l-1)/(2l)) * sin(x)^{2k-1} /(2k-1).
• Show S(pi) = pi, and compute derivatives S^{(k)}(pi) to establish the order of convergence.

实验结果

研究问题

• RQ1 pi 是否可以被刻画为构造函数 S(x) 的固定点？
• RQ2 S 在固定点 pi 处的导数是什么，它们如何决定收敛阶？
• RQ3 给定 P 的固定点迭代的精确收敛阶是什么？
• RQ4 系数如何高效计算并存储以用于高精度实现？
• RQ5 在实际高精度计算中的性能如何（例如实现大位数的 pi）？

主要发现

• 固定点迭代以严格的 2P+1 阶收敛到 pi。
• 在 pi 处的导数满足 S^{(k)}(pi)=0，1 <= k <= 2P，且 S^{(2P+1)}(pi) = (prod_{l=1}^{P} (2l-1))^2。