[论文解读] A flow of isometric $G_2$-structures. Short-time existence

Leonardo Bagaglini|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在7-流形上保持底层黎曼度量的等距 $G_2$-结构的新几何流，该流通过演化 $G_2$-结构来减小挠率发散。该流是抛物型的，具有短时存在性与唯一性；其临界点为挠率发散为零的 $G_2$-结构，这些临界点被证明是某个能量泛函的临界点，尽管不一定是局部极小值。

ABSTRACT

We introduce a flow of $G_2$-structures defining the same underlying Riemannian metric, whose stationary points are those structures with divergence-free torsion. We show short-time existence and uniqueness of the solution.

研究动机与目标

• 定义一种在保持底层度量的同时演化 $G_2$-结构的新几何流。
• 将流的临界点识别为挠率张量发散为零的 $G_2$-结构。
• 利用抛物型偏微分方程理论，建立该流的短时存在性与唯一性。
• 将该流与限制在等距 $G_2$-结构上的能量泛函的梯度流联系起来。
• 分析挠率发散为零的 $G_2$-结构的无穷小变形与实际变形的模空间。

提出的方法

• 通过演化方程 $\dot{\varphi}_t = -2\star_t(\mathrm{div}(T^{\varphi_t})\wedge\varphi_t)$ 定义 $G_2$-结构的流，保持度量 $g$ 不变。
• 将具有固定度量的等距 $G_2$-结构空间识别为一个射影旋量丛，从而实现旋量形式的表述。
• 通过证明演化算子的线性化是强椭圆且自伴的，证明该流是抛物型的。
• 将该流与能量泛函 $E(\varphi) = \frac{1}{2}\int_M \star|T^\varphi|^2$ 在 $L^2$-度量下的负梯度流相关联。
• 利用 Bochner 拉普拉斯算子 $\Delta'$ 和一个曲率算子 $R^\varphi$ 来分析挠率发散的线性化算子。
• 应用 Banach 空间隐函数定理研究挠率发散为零的变形的模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种抛物型流，能够在保持度量的同时演化 $G_2$-结构，并使挠率发散趋于零？
• RQ2 挠率发散为零的 $G_2$-结构是否为能量泛函 $E(\varphi)$ 的临界点？
• RQ3 挠率发散为零的 $G_2$-结构的模空间是否为有限维？实际变形的障碍是什么？
• RQ4 该流能否被解释为限制在等距 $G_2$-结构上的 $E$ 的梯度流？其与完整梯度流有何不同？
• RQ5 挠率发散为零的 $G_2$-结构的无穷小变形空间具有何种结构？

主要发现

• 流 (1) 在短正时间区间内存在唯一解 $\varphi_t$，从而确立了短时存在性与唯一性。
• 该流等价于限制在等距 $G_2$-结构上的能量泛函 $E(\varphi) = \frac{1}{2}\int_M \star|T^\varphi|^2$ 的负梯度流。
• 能量泛函 $E$ 的临界点不一定是局部极小值，因为 $E$ 的二阶变分不是正定的。
• 挠率发散为零的 $G_2$-结构的无穷小变形空间是有限维的，其维数至少为 $\dim\,\mathrm{Ker}(\Delta')$，其中 $\Delta'$ 是 Bochner 拉普拉斯算子。
• 实际变形的障碍空间同构于 $\mathrm{Ker}(\Delta' + R^{\bar{\varphi}})/\mathrm{Ker}(\Delta')$，其中 $R^{\bar{\varphi}}$ 是涉及挠率张量的曲率算子。
• 若挠率张量为零 ($T^{\bar{\varphi}} = 0$)，则变形无障碍，且形成一个维数为 $b_1(M)$ 的光滑流形，其中 $b_1(M)$ 是 $M$ 的第一贝蒂数。