[论文解读] A fullwave model of the nonlinear wave equation with multiple relaxations and relaxing perfectly matched layers for high-order numerical finite-difference solutions

Gianmarco Pinton|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2021

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文提出了一种高阶有限差分求解器，用于求解具有空间变化的多重松弛机制的非线性波方程，以在非均质介质中建模频率相关的衰减和色散。通过卷积松弛方法集成松弛型完美匹配层（PML），实现了在最小数值色散和数值耗散下的高精度长距离超声模拟，并在2D/3D实验和理论基准中得到验证，斑点亮度误差低于1 dB，七次谐波精度达到7阶。

ABSTRACT

Large-scale simulations of the wave equation in electromagnetism, seismology, and acoustics, can be solved efficiently by finite difference methods. The accuracy of these numerical solutions usually depends on the minimization of dissipation and dispersion error using optimized schemes. However, these optimized schemes are often difficult to implement for more complex formulations of the wave equation. Here we present a model of the quadratically nonlinear wave equation with multiple relaxations as a function of space that can model perfectly matched layers and is designed to be easily used with optimized finite-difference stencils on a staggered grid. Solutions are demonstrated in 2D and 3D for ultrasound imaging applications where the long propagation lengths, heterogeneous media in the human body, large dynamic range, and requirements for computational speed, demonstrate the utility of the proposed methods.

研究动机与目标

• 解决在非均质人体组织中模拟长距离、高动态范围超声波传播时的数值色散和耗散最小化挑战。
• 开发一种灵活的高阶有限差分格式，通过空间变化的松弛机制支持任意衰减律和非线性行为。
• 通过卷积松弛方法将松弛型完美匹配层（PML）集成到波方程中，以最小化反射伪影和阻抗不匹配。
• 实现对包含非线性、衰减和亚分辨率散射体等真实物理现象的超声成像系统进行高精度模拟。
• 基于猪肝实验数据和Rusanov格式求解Burgers方程的数值基准，对模型进行验证。

提出的方法

• 使用压力-速度变量表述线性波方程，通过空间导数的复坐标变换，利用N个松弛机制建模衰减和色散。
• 通过空间变化的松弛参数（κ, dν, αν）表示软组织等非均质介质中的频率相关衰减和色散。
• 利用从Kramers-Kronig关系推导出的卷积松弛核，确保因果性，并匹配解析衰减律（如0.5 dB/MHz/cm），参数通过最小二乘法拟合。
• 通过将松弛框架扩展至边界层，构建松弛型PML，确保色散恒定，并通过匹配内部色散特性最小化反射。
• 在交错网格上应用高阶优化有限差分格式，以最小化色散和耗散误差，实现在粗网格上的高效稳定模拟。
• 使用1D Rusanov格式求解Burgers方程作为基准，比较每波长15个采样点处的频域和时域响应。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有多个空间变化松弛机制的全波非线性波方程模型能否准确模拟软组织中的频率相关衰减和色散？
• RQ2 基于卷积松弛机制的松弛型PML在非均质介质中能否有效抑制数值反射并保持稳定性？
• RQ3 所提出的在交错网格上实现的高阶有限差分格式，在长距离超声模拟中能在多大程度上保持频谱内容，并最小化色散和耗散误差？
• RQ4 该模型在多大程度上能准确再现实验B模式成像数据，特别是斑点亮度和信噪比（LOC）方面？
• RQ5 在使用粗网格（每波长15个点）时，模拟中能保留的最大谐波成分是多少？与奈奎斯特极限相比如何？

主要发现

• 该模型在1–10 MHz范围内，使用三个松弛机制时，与解析衰减和色散律具有极佳的一致性，均方误差最小化。
• 松弛型PML将反射系数降低至低于-60 dB（正入射），对网格尺寸和边界厚度的敏感性极低，证实了有效的波吸收能力。
• 全波求解器准确捕捉了非线性波的第七次谐波，表明在每波长15个点时，频谱支持接近奈奎斯特极限（7.5f₀）。
• 猪肝组织的实验B模式成像中，斑点亮度为-57.8 dB，当散射体阻抗设为背景的4.0%时，模拟结果为-57.5 dB，高度一致。
• 实验测得的信噪比（LOC）为0.32 ± 0.093，模拟结果为0.31 ± 0.037，证实了通道信号动态特性的高保真度。
• 该模型成功模拟了可见人腹部的3D波传播，实现了超过20 mm深度的真实衰荡回波，时间域和频域均与实验数据匹配。