[论文解读] A Fully Polynomial Time Approximation Scheme for Packing While Traveling

Frank Neumann, Sergey Polyakovskiy+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Optimization and Packing Problems被引用 5

一句话总结

本文提出了一种动态规划方法和一种全多项式时间近似方案（FPTAS），用于解决非线性装货旅行问题（PWT），这是旅行骗子问题（TTP）的核心子问题。该FPTAS能高效近似基线旅行成本的收益，在高利润和高权重范围的大规模实例上，显著优于以往的混合整数规划和分支-推理-分支方法。

ABSTRACT

Understanding the interactions between different combinatorial optimisation problems in real-world applications is a challenging task. Recently, the traveling thief problem (TTP), as a combination of the classical traveling salesperson problem and the knapsack problem, has been introduced to study these interactions in a systematic way. We investigate the underlying non-linear packing while traveling (PWT) problem of the TTP where items have to be selected along a fixed route. We give an exact dynamic programming approach for this problem and a fully polynomial time approximation scheme (FPTAS) when maximising the benefit that can be gained over the baseline travel cost. Our experimental investigations show that our new approaches outperform current state-of-the-art approaches on a wide range of benchmark instances.

研究动机与目标

• 为解决非线性装货旅行问题（PWT）的计算挑战，该问题作为旅行骗子问题（TTP）的关键子问题，结合了路径规划与背包决策，且旅行成本依赖于总重量。
• 为PWT设计一种精确的动态规划解法，以伪多项式时间运行，从而在中等规模实例上实现高效计算。
• 设计一种全多项式时间近似方案（FPTAS），用于最大化相对于最低可能旅行成本的收益，鉴于原始目标函数难以近似，该方案具有理论优势。
• 在多样化基准实例上，对所提方法与现有最先进方法（特别是混合整数规划和分支-推理-分支技术）进行实证评估。
• 理解近似精度与运行时间之间的权衡，特别是在不同近似保证（ε）和实例复杂度下的表现。

提出的方法

• 提出一种动态规划算法，按路径顺序处理物品，维护一个表格，记录每个物品前缀和每种可能总重量下的最大目标值，实现伪多项式时间复杂度。
• 通过基于观察结果的利润适当舍入，设计FPTAS：即最优解中至少有一个单个物品贡献了OPT/m的收益，从而确保对基线成本收益的(1−ε)近似。
• 假设单位距离的旅行成本函数为单调递增且凸函数，作为一般性前提，使FPTAS适用于广泛类别的非线性路径成本函数。
• 对利润应用缩放技术，以减小动态规划表的规模，从而在保持所需近似比的前提下实现全多项式时间复杂度。
• 通过调整ε值实现FPTAS的可配置性，以在近似精度与计算效率之间取得平衡，尤其在复杂实例上将ε放宽至0.75时效果显著。
• 在TTP基准实例上开展大量实验，比较新方法与现有混合整数规划和分支-推理-分支求解器在不同利润/权重范围和实例类型下的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为PWT问题设计一种精确的动态规划方法，以高效计算中等规模实例的最优解？
• RQ2 鉴于原始目标函数难以近似，是否可能设计一种全多项式时间近似方案（FPTAS），用于最大化相对于最小旅行成本的收益？
• RQ3 当利润和权重取值范围较大时，FPTAS的性能如何随实例复杂度的增加而变化？
• RQ4 近似参数ε对FPTAS在不同实例类型下的运行时间和精度有何影响？
• RQ5 在多样化基准实例上，所提方法与现有最先进方法（如混合整数规划和分支-推理-分支）相比，实际表现如何？

主要发现

• 在可由精确方法求解的实例上，动态规划方法显著优于以往的混合整数规划和分支-推理-分支方法，运行时间降低了一个数量级以上。
• 当ε为0.0001和0.01时，FPTAS在大多数实例上实现了100%的近似比（即最优解），表明即使在高精度下也具有极高准确性。
• 当ε增加至0.25时，FPTAS在保持高精度的同时显著缩短了运行时间，表明放宽近似保证可提升性能而不损失解的质量。
• 在利润和权重范围极大（高达10^7）的实例上，当ε从0.0001放宽至0.75时，FPTAS性能最高提升达95%，且近似比仍保持100%。
• 对于含1,000个物品的uncorr-s-w_01实例，FPTAS在1秒内完成求解，而approxMIP方法则需数小时，凸显FPTAS在可扩展性上的显著优势。
• FPTAS在多数实例上优于approxMIP，尽管在特定相关性实例（如b-s-corr_06和b-s-corr_10）上approxMIP表现更优，表明两种方法面临不同的困难因素。