[论文解读] A FUNCTIONAL TREATMENT OF ASYMMETRIC COPULAS

Ahmed Sani|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Economic theories and models参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文通过引入基于协 copula 与其转置之间对称差的 L1-范数的改进部分序，对非对称 copula 进行了函数和拓扑处理。研究证明，具有相同非对称性度量的 copula 构成非平凡等价类，从而实现对非对称性程度的有意义比较。关键贡献在于提出了一种基于容差的非对称性度量 µt，该度量可依据非对称性‘良好部分’的 L1-范数对子 copula 进行排序。通过非对称 Cobb-Douglas 效用模型的实例说明，由于非对称分量对边际贡献更高，µ(C) > µ(D)。

ABSTRACT

The concept of asymmetric copulas is revisited and is made more precise. We give a rigorous topological argument for opportunity to define asymmetry measures defined recently by K.F Siburg [6] through exhibiting at least three ordered classes of copulas according to a suitable equivalence relation. We define a process of ordering subcopulas which makes clearer the degree of asymmetry. As illustration, we treat the asymmetric Cobb-Douglas utility model.

研究动机与目标

• 严格定义并分类非对称 copula，超越现有的非启发式度量方法，解决现有非对称性度量中的模糊性问题。
• 证明具有相同非对称性水平的 copula 构成非单元素等价类，从而证明部分序 ⪯ 是非平凡的。
• 通过非对称性括号的‘良好部分’的 L1-范数，建立基于函数的框架，以比较非对称性的程度。
• 将该框架应用于经济模型，特别是非对称 Cobb-Douglas 效用函数，以量化各因素的贡献。

提出的方法

• 为任意 copula C 定义括号 Cs = |C − C⊤|，并依据引理 2.8 将其分解为‘良好’(g) 和‘不良’(b) 两部分。
• 引入容差参数 t ∈ (0,1)，基于‘良好部分’的 L1-范数定义部分序 ≺t：C1 ≺t C2 当且仅当 ‖g1‖1 ≥ ‖g2‖1。
• 使用 µp-度量，特别是 µ1(f) = ‖g‖1，以量化非对称性大小，其中 g 由括号分解得出。
• 通过在保持正则性（Lipschitz 连续性）的区域 S1 × S2 上限制，将该框架应用于子 copula。
• 以非对称 Cobb-Douglas 模型为例：C(u,v) = (2/3)u^αv^1Q2 + (1/3)qnqm1Q2(qn,qm)，其中非对称性源于 u^αv^1Q2 项。
• 计算 C 和 D 的 µ(C) = ‖g‖1，显示由于 C 中 g 非零而 D 中 g = 0，故 µ(C) > µ(D)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个函数和拓扑框架，以区分具有相同非对称性水平的 copula？
• RQ2 Siburg 等人定义的部分序 ⪯ 是否是非平凡的，即具有相同非对称性度量的 copula 是否构成非单元素类？
• RQ3 当子 copula 的完整括号行为在其支撑集外呈现病态时，如何对其非对称性进行有意义的比较？
• RQ4 在 Cobb-Douglas 等效用模型中，非对称分量的定量影响是什么？能否通过函数范数捕捉这一影响？
• RQ5 能否定义一种基于容差的度量 µt，使其既能反映 copula 非对称性的排序，又能体现其大小？

主要发现

• 部分序 ⪯ 是非平凡的：具有相同非对称性度量的 copula 构成非单元素等价类，验证了对精细化比较工具的需求。
• 括号分解 Cs = g + b 将非对称性分离为均值为零的‘不良’部分 b 和非负的‘良好’部分 g，从而实现有意义的比较。
• 对于非对称 Cobb-Douglas copula C，其‘良好部分’g 非零，故 µ(C) = ‖g‖1 > 0；而对于 D，g = 0，故 µ(D) = 0。
• 度量 µ(C) > µ(D) 定量确认了 C 的非对称性程度高于 D，尽管两者均为非对称。
• 容差参数 t = 1 对 copula 是自然的，因其与单位区间定义域一致，并确保非对称性度量的完整支撑。
• 该框架可通过对非对称性括号上的函数范数，实现对效用模型中边际贡献（如 Cobb-Douglas 函数中的资本与劳动）的定量比较。