[论文解读] A Galois connection between classical and intuitionistic logics

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文提出了QHC，它是直觉主义（QH）和经典（QC）谓词逻辑的保守扩展，通过在它们的Lindenbaum偏序集之间通过新连接词?和!建立Galois连接，从而统一二者。主要贡献在于构建了一个形式系统，调和了Kolmogorov对直觉主义逻辑的问题解释与Gödel的证明解释，其中QHC允许对QH和QC+(!)（被识别为QS4）进行收缩，而! ?模态则捕捉了一种类类型论括号的严格宽松模态。

ABSTRACT

In a 1985 commentary to his collected works, Kolmogorov remarked that his 1932 paper written in hope that with time, the logic of solution of problems [i.e., intuitionistic logic] will become a permanent part of a [standard] course of logic. A unified logical apparatus was intended to be created, which would deal with objects of two types - propositions and problems. We construct such a formal system QHC, which is a conservative extension of both the intuitionistic predicate calculus QH and the classical predicate calculus QC. The only new connectives ? and ! of QHC induce a Galois connection (i.e., a pair of adjoint functors) between the Lindenbaum posets (i.e. the underlying posets of the Lindenbaum algebras) of QH and QC. Kolmogorov's double negation translation of propositions into problems extends to a retraction of QHC onto QH; whereas Goedel's provability translation of problems into modal propositions extends to a retraction of QHC onto its QC+(?!) fragment, identified with the modal logic QS4. The QH+(!?) fragment is an intuitionistic modal logic, whose modality !? is a strict lax modality in the sense of Aczel - and thus resembles the squash/bracket operation in intuitionistic type theories. The axioms of QHC attempt to give a fuller formalization (with respect to the axioms of intuitionistic logic) to the two best known contentual interpretations of intiuitionistic logic: Kolmogorov's problem interpretation (incorporating standard refinements by Heyting and Kreisel) and the proof interpretation by Orlov and Heyting (as clarified by Godel). While these two interpretations are often conflated, from the viewpoint of the axioms of QHC neither of them reduces to the other one, although they do overlap.

研究动机与目标

• 构建一个形式系统，保守扩展直觉主义和经典谓词逻辑，实现对命题与问题的统一处理。
• 通过形式化命题与问题之间的对偶性，实现Kolmogorov将问题解决逻辑作为逻辑标准部分的愿景。
• 通过表明Kolmogorov的问题解释与证明解释在QHC中是不同但重叠的，厘清直觉主义逻辑两种基础解释之间的关系。
• 为诱导QH与QC的Lindenbaum偏序集之间Galois连接的模态?和!提供形式基础，从而统一其代数结构。

提出的方法

• 引入两个新连接词?和!，它们在直觉主义逻辑（QH）与经典逻辑（QC）的Lindenbaum偏序集之间形成Galois连接。
• 将QHC构建为QH与QC的保守扩展，确保QH与QC的所有定理在QHC中均被保留。
• 通过Kolmogorov的双重否定翻译，定义从QHC到QH的收缩，将问题映射回命题。
• 通过Gödel的问题到模态命题的可证明性翻译，定义从QHC到其QC+(?! )片段的收缩，该片段被识别为模态逻辑QS4。
• 将! ?模态形式化为Aczel意义上的严格宽松模态，使其与直觉主义类型论中的squash/括号操作对齐。
• 公理化QHC，以完整捕捉Kolmogorov的问题解释（经Heyting和Kreisel完善）与证明解释（由Orlov和Heyting提出，Gödel阐明）

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过单一形式系统统一直觉主义与经典谓词逻辑，同时保持其各自的证明论与模型论结构？
• RQ2 直觉主义与经典逻辑的Lindenbaum偏序集之间存在何种精确代数关系？能否通过伴随函子形式化？
• RQ3 Kolmogorov的问题解释与直觉主义逻辑的证明解释能否在一个逻辑框架内被形式化地区分，同时保持一致统一？
• RQ4 向经典与直觉主义逻辑添加新连接词?和!是否产生保守扩展，从而保留原系统？
• RQ5 ?与!模态及由此产生的!?模态，与类型论和模态逻辑中的已知构造（如squash类型与QS4）有何关系？

主要发现

• QHC是直觉主义谓词演算（QH）与经典谓词演算（QC）的保守扩展，保留了两个系统的所有定理。
• 连接词?和!在QH与QC的Lindenbaum偏序集之间诱导出Galois连接，形式化了命题与问题之间的对偶性。
• Kolmogorov的双重否定翻译可扩展为从QHC到QH的收缩，验证了问题解释作为一致子系统的合理性。
• Gödel的可证明性翻译可扩展为从QHC到其QC+(?! )片段的收缩，该片段被识别为模态逻辑QS4，从而将经典模态推理嵌入QHC。
• 在QH+(!?)片段中，!?模态是Aczel意义上的严格宽松模态，其表现类似于直觉主义类型论中的squash/括号操作。
• 在QHC中，两种解释——Kolmogorov的问题解释与证明解释——在形式上是不同的，尽管存在重叠，表明二者不可相互约化。