[论文解读] A general product of tensors with applications

Jia‐Yu Shao|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义张量积，将矩阵乘法推广至高阶张量，实现了张量运算的统一处理。该张量积满足结合律等关键性质，并用于定义张量的相似性、合同性及直积，进而导出了谱理论、超图谱以及非负张量拟序性方面的新结果，包括拟序度的界与零模式下的刻画。

ABSTRACT

We define a general product of two $n$-dimensional tensors $\mathbb {A}$ and $\mathbb {B}$ with orders $m\ge 2$ and $k\ge 1$, respectively. This product is a generalization of the usual matrix product, and satisfies the associative law. Using this product, many concepts and known results of tensors can be simply expressed and/or proved, and a number of applications of this product will be given. Using this tensor product and some properties on the resultant of a system of homogeneous equations on $n$ variables, we define the similarity and congruence of tensors (which are also the generalizations of the corresponding relations for matrices), and prove that similar tensors have the same characteristic polynomials. We study two special kinds of similarity: permutational similarity and diagonal similarity, and their applications in the study of the spectra of hypergraphs and nonnegative irreducible tensors. We define the direct product of tensors (in matrix case it is also called the Kronecker product), and give its applications in the study of the spectra of two kinds of the products of hypergraphs. We also give applications of this tensor product in the study of nonnegative tensors, including a characterization of primitive tensors, the upper bounds of primitive degrees and the cyclic indices of some nonnegative irreducible tensors.

研究动机与目标

• 定义一种广义张量积，将矩阵乘法推广至高阶张量，并满足结合律。
• 统一并简化张量谱理论中已知结果的表达与证明。
• 应用该张量积定义张量的相似性、合同性及直积，以实现谱分析。
• 通过零模式性质刻画非负张量的拟序性，并推导拟序度的界。
• 研究非负不可约张量的谱对称性与旋转不变性。

提出的方法

• 定义两个n维张量（阶数分别为m ≥ 2与k ≥ 1）的广义积，推广矩阵乘法。
• 证明该积满足结合律，从而支持一致的代数运算。
• 利用该积定义张量相似性与合同性，表明相似张量具有相同的特征多项式。
• 引入张量的直积（推广Kronecker积），并通过一个关键定理将其与广义积关联。
• 将该积应用于非负张量分析，将拟序性与张量幂的零模式联系起来。
• 利用结式理论与超行列式推导谱在置换与对角相似变换下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一种广义张量积，以统一并推广高阶张量的矩阵乘法？
• RQ2 该广义张量积满足哪些代数性质，如结合律？
• RQ3 通过广义积定义的张量相似性与合同性，如何与谱不变性及特征多项式相关联？
• RQ4 非负张量的拟序性与其幂的零模式之间存在何种关系？
• RQ5 能否为非负张量的拟序度建立上界？对于固定阶数m，是否存在关于n的多项式界？

主要发现

• 广义张量积满足结合律，且当应用于矩阵或向量时退化为标准矩阵乘法。
• 通过广义积定义的相似张量具有相同的特征多项式，因此其谱（作为多重集）也相同。
• 置换相似性确保超图的谱与顶点标记无关。
• 对于具有循环指标k的非负不可约张量，其谱在复平面上关于旋转2π/k保持不变。
• 非负张量的拟序性仅由张量的零模式决定，与元素大小无关。
• 非负张量𝒜的拟序度γ(𝒜)满足γ(𝒜) ≤ γ(M(𝒜)) ≤ (n−1)² + 1，其中M(𝒜)为关联矩阵。
• 提出一个猜想：对于固定阶数m，拟序度有关于n的多项式界。
• 存在非强拟序的拟序张量，表明在阶数m ≥ 3时，拟序性与强拟序性之间存在本质区别。