[论文解读] A Generalization of Schur's Theorem

Jon Henry Sanders|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Limits and Structures in Graph Theory被引用 15

一句话总结

本文通过证明：对任意正整数 $ t $ 和 $ n $，存在一个数 $ J(t,n) $，使得任意 $ t $-着色的 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 中均包含一个 $ n $ 元序列（元素不一定互异），其所有子集和均落在同一颜色类中，从而推广了舒尔定理。证明采用迭代的拉姆齐理论论证，并引入一种新颖的带符号和函数来编码子集结构，将经典划分正则性推广至所有有限子集和。

ABSTRACT

This paper is an excerpt from the author's 1968 PhD dissertation [Yale University, 1968] in which the (now) well-known result, commonly known as the Folkman-Rado-Sanders theorem, is proved. The proof uses (finite) alternating sums of integers and an 'iterated Ramsey theorem' in a way analogous to the proof of Schur's theorem using differences of integers and Ramsey's theorem for the coloring of the edges of a complete graph. The proof predates all others except J. Folkman, who based his proof on van der Waerden's theorem. The paper also contains the first published statement of the countable version of the theorem, which came to be misattributed to Graham and Rothschild, but predated their statement by three years.

研究动机与目标

• 将舒尔关于方程 $ a + b = c $ 的单色解的古典定理推广至 $ n $-元序列的所有有限子集和。
• 在 $ \mathbb{N} $ 的任意有限着色下，建立 $ n $ 个数的所有 $ 2^n - 1 $ 个非空子集和的划分正则性结果。
• 利用迭代拉姆齐理论，将舒尔型结果的结构推广至高阶配置。
• 探讨此类结果是否可推广至无限序列，并识别此类推广中的障碍。

提出的方法

• 为子集 $ B \subseteq S $ 定义一个带符号和函数 $ f(B) $，根据元素在排序顺序中的位置交替符号，将子集映射至 $ S $ 中的整数。
• 利用该函数将 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 的 $ t $-着色提升至其非空子集的着色，从而可应用拉姆齐理论工具。
• 应用一个迭代拉姆齐定理（引理 1），保证存在一个大子集 $ K $，使得所有 $ r $-子集均落在指定的颜色类中，且 $ r $ 逐步增加。
• 通过在缩放后的集合上使用归纳假设，递归构造序列 $ a_1, \ldots, a_n $，确保所有子集和保持单色。
• 利用带符号和函数的结构性质及子集并运算，保持不同子集组合间的单色性。
• 通过一个推论证明不同解的存在性，该推论将非互异序列约化为倍数的等差数列。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $ \mathbb{N} $ 的有限着色是否都包含一个单色 $ n $-元组，使得所有非空子集和均属于同一颜色类？
• RQ2 经典舒尔定理是否可推广至 $ n $-元组的所有 $ 2^n - 1 $ 个子集和，而不仅限于 $ a + b = c $？
• RQ3 使得任意 $ t $-着色的 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 包含此类单色 $ n $-元组的最小数 $ J(t,n) $ 是多少？
• RQ4 是否存在该结果的无限版本，即存在一个无限序列，其所有有限子集和均为单色？
• RQ5 何种结构障碍会阻止该定理的无限版本成立？

主要发现

• 本文证明：对所有 $ t, n \in \mathbb{N} $，存在一个数 $ J(t,n) $，使得任意 $ t $-着色的 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 中均包含一个序列 $ a_1, \ldots, a_n $，其所有非空子集和均为单色。
• 该序列的存在性通过关于 $ n $ 的归纳法建立，使用以 $ N(k,r,t) $ 为关键函数的迭代拉姆齐理论构造。
• 一个推论表明，可通过缩放将单色序列中的元素 $ a_i $ 假设为互异，方法为取 $ J'(t,n) = J(t, n^4) $。
• 本文构造了一个带符号和函数 $ f(B) $，将子集映射至 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 中的整数，从而可在幂集上应用拉姆齐定理。
• 无限推广（定理 $ 2' $）在一般情况下被证明为假，通过在子集成员关系上使用对角化方法构造了反例。
• 该反例表明，在特定的 $ \mathbb{N} $ 幂集的 2-着色下，不存在任何无限序列，使得其所有有限子集和均为某一固定颜色的单色。