[论文解读] A generalization of the Clifford index and determinantal equations for curves and their secant varieties

Adam Ginensky|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文将 Clifford 指数推广至代数曲线上的任意非常 ample 线丛，通过在除子上支持的 Shiffer 变化引入新的几何刻画。证明了当线丛度数较大时，曲线及其其 secant 簇在 Segre 型行列式方程下被定义，广义 Clifford 指数决定了这些方程的次数与结构。

ABSTRACT

This is the author's 2008 thesis from the University of Chicago. We generalize the notion of the Clifford index to an arbitrary very ample line bundle and show how it determines when a curve and its various secant varieties have determinantal equations. In particular we establish the scheme theoretic version of a conjecture of Eisenbud-Koh-Stillman. If $L_1$ and $L_2$ are line bundles of degree at least $2g+1+k$, then ${ m Sec}^j(C)$ is determinantally presented for $j \leq k$ and for $j \leq k+1$ if $L_1 eq L_2$. We also give a geometric characterization of the standard Clifford index in terms of which secant varieties of $C$ are determinantal in the bicanonical embedding. The relationship with Koszul cohomology and Green's conjecture is also discussed.

研究动机与目标

• 将经典的 Clifford 指数推广至代数曲线上的任意非常 ample 线丛。
• 通过无穷小变形与 Shiffer 变化，提供广义 Clifford 指数的几何刻画。
• 建立在何种条件下曲线的 secant 簇在射影嵌入下由行列式方程定义。
• 将广义 Clifford 指数与 $K_{p,2}^*$ 中非平凡 Koszul 上同调类的存在性联系起来。
• 将关于行列式方程的结果扩展至通过 $|L_1 \otimes L_2|$ 嵌入的情形，特别是当 $h^1(L) = 0$ 或 $1$ 时。

提出的方法

• 引入在有效除子 $D$ 上支持的广义 Shiffer 变化，扩展了与曲线上点相关的经典概念。
• 为任意非常 ample 线丛 $L$ 定义广义 Clifford 指数 $\operatorname{Cliff}(C,L)$，推广经典不变量。
• 利用分解 $L = L_1 \otimes L_2$ 将曲线嵌入矩阵空间 $\operatorname{Hom}(H^0(L_1)^\vee, H^0(L_2))$，从而导出 Segre 型行列式方程。
• 应用几何 Riemann-Roch 与上同调技巧，将形变的秩与 Clifford 指数联系起来。
• 应用 Hassett 的判别准则，表明某些秩为 $j$ 的矩阵不能是边界，从而推出 Koszul 上同调中的非平凡性。
• 利用典范情形下 $K_{p,2}^*$ 与 $K_{g-p-2,1}$ 之间的对偶性，将结果与 Green 猜想联系起来，尽管该方法更具普遍适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典 Clifford 指数推广至曲线上任意非常 ample 线丛？
• RQ2 在 $|L^{ imes 2}|$-嵌入下，secant 簇 $\operatorname{Sec}^k(C)$ 何时由行列式方程定义？
• RQ3 在除子上支持的 Shiffer 变化在刻画广义 Clifford 指数中起什么作用？
• RQ4 能否将 $K_{p,2}^*$ 中非平凡 Koszul 上同调类的存在性与广义 Clifford 指数联系起来？
• RQ5 广义 Clifford 指数如何控制 bicanonical 嵌入中矩阵秩 $\leq j$ 的集合 $R^j$ 的方案论结构？

主要发现

• 当非常 ample 线丛 $L$ 满足 $h^1(L) = 0$ 时，若 $k < \operatorname{Cliff}(C,L)$，则曲线 $C$ 及其 secant 簇 $\operatorname{Sec}^k(C)$ 在 $|L^{ imes 2}|$-嵌入下由行列式方程定义。
• 当 $j < \operatorname{Cliff}(C) - 1$ 时，方案论等式 $\operatorname{Sec}^j(C) = R^{j+1} \cap \mathbb{P}(H^0(L^{ imes 2})^\vee)$ 成立，其中 $R^{j+1}$ 为秩 $\leq j+1$ 的矩阵集合。
• 广义 Clifford 指数 $\operatorname{Cliff}(C,L)$ 控制 $K_{p,2}^*$ 中非平凡类的存在性：若 $p < \operatorname{Cliff}(C,L)$，则对偶复形中的任意可分解元素均为边界，从而推出 $K_{p,2}(C,L) = 0$。
• 当 $L = K_C(D)$ 且 $D$ 有效、$\deg(D) < g$ 时，该方法即使在 $h^0(\mathcal{O}_C(D)) = 0$ 的情况下，也能在 $K_{d-2,2}$ 中产生非平凡类，突破了 Green-Lazarsfeld 构造的限制。
• 该结果证明了 Eisenbud、Koh 与 Stillman 的一个猜想：当线丛度数较大时，$\operatorname{Sec}^k(C)$ 在 $|L_1 \otimes L_2|$-嵌入下为行列式簇，当且仅当 $k < \operatorname{Cliff}(C, L_1 \otimes L_2)$。
• 在典范情形（$L = K_C$）下，该方法为 Green 猜想提供了新视角，表明 $K_{p,2}(C,K_C) = 0$ 对所有 $p < \operatorname{Cliff}(C)$ 成立，尽管该方法尚未完全证明该猜想的全部内容。