[论文解读] A generalization of the Grid Theorem

Jim Geelen, Benson Joeris|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文引入了一种广义的树宽概念，称为θ-树宽（θ-tree-width），其定义基于阶小于θ的团和（clique-sums），并证明了具有足够大θ-树宽的图必然包含一个大的完全二部图子式$K_{\theta,n}$，或一个$(\theta;n)$-轮子式。其主要贡献是利用该框架，对罗伯逊与塞缪尔森的网格定理（Grid Theorem）给出了一个全新的、自包含的证明，从而确立了高θ-连通性下的不可避免子式结构。

ABSTRACT

A graph has tree-width at most $k$ if it can be obtained from a set of graphs each with at most $k+1$ vertices by a sequence of clique sums. We refine this definition by, for each non-negative integer $θ$, defining the $θ$-tree-width of a graph to be at most $k$ if it can be obtained from a set of graphs each with at most $k+1$ vertices by a sequence of clique sums on cliques of size less than $θ$. We find the unavoidable minors for the graphs with large $θ$-tree-width and we obtain Robertson and Seymour's Grid Theorem as a corollary.

研究动机与目标

• 通过将团和的阶限制在小于θ，对经典树宽概念进行精细化，提出θ-树宽。
• 通过识别不可避免的子式结构，刻画具有大θ-树宽的图，从而推广网格定理。
• 建立θ-连通顶点集与特定子式结构（如$K_{\theta,n}$和$(\theta;n)$-轮）之间的联系。
• 利用新框架，为罗伯逊与塞缪尔森的网格定理提供一个全新的、独立的证明。
• 统一并拓展关于3-连通图与内部4-连通图的不可避免子式结果。

提出的方法

• 将θ-树宽定义为最小的k，使得图可通过阶小于θ的团和，从最多k+1个顶点的图构造而成。
• 引入θ-连通集：任意两个大小不超过θ的子集之间均存在|X|条顶点不相交的路径。
• 通过树形结构、环状连接和外部附着，构造$(\theta;n)$-轮，形成具有大小为n的θ-连通集的图族。
• 利用收缩子式（retract minors）和念珠结构（necklace structures，包括精炼型、平衡型、近似平衡型）来建模连通性并提取子式结构。
• 应用次模分离不等式与递归分解，以控制连通性并提取子式。
• 证明：若存在大的θ-连通集，则必然存在$K_{\theta,n}$-子式或$(\theta;n)$-轮子式，其所需大小由函数$f_{9.1}(\theta,n)$控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有大θ-树宽的图中，不可避免的子式结构是什么？
• RQ2 θ-树宽与θ-连通顶点集及其结构影响之间有何关系？
• RQ3 能否从θ-树宽框架中独立推导出网格定理？
• RQ4 大θ-连通集会产生何种子式结构，以及如何系统地提取这些结构？
• RQ5 念珠结构与收缩子式如何促进$K_{\theta,n}$或$(\theta;n)$-轮子式的识别？

主要发现

• 对每个$\theta, n \geq 3$，存在一个函数$f_{9.1}(\theta,n)$，使得任意图若包含大小至少$f_{9.1}(\theta,n)$的θ-连通集，则其必有同构于$K_{\theta,n}$的收缩子式，且$K_{\theta,n}$中大小为n的独立集位于该θ-连通集中；或存在一个$(\theta;n)$-轮，其轮环（rim）与该θ-连通集相交。
• 每个$(\theta;n)$-轮均包含一个大小为n的θ-连通集，证实其作为θ-连通性极端例子的角色。
• 图$G$的θ-树宽被$\omega$所限制，当且仅当最大θ-连通集$U$的大小满足$\omega < |U| \leq \binom{\omega+1}{\theta-1}(\theta-1)$，从而建立了精确的定量关系。
• 网格定理由本定理作为推论得出：当$\theta = 2n^{2n} + n^2$时，若图$G$中存在大小$m \geq f_{\text{main-local}}(\theta, n^2)$的$m$-连通集，且不含$K_{n^2,n^2}$-子式，则$G$必含$n \times n$-网格子式。
• 证明表明：若$G$不含$K_{n^2,n^2}$-子式且包含一个大的θ-连通集，则必含$(\theta;n^2)$-轮；若其基础树中存在度数$\geq n^2$的顶点，则通过收缩边可得到$K_{n^2,n^2}$-子式，导致矛盾。
• 该框架推广了关于3-连通图与内部4-连通图不可避免子式结果，表明它们是定理1.1的特例。