[论文解读] A generalized Fourier approach to estimating the null parameters and proportion of non-null effects in large-scale multiple testing

Jiashun Jin, Jie Peng+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2009

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义傅里叶方法，用于在高维多重检验的高斯混合模型下，估计未知的零假设参数（均值和方差）以及非零效应的比例。通过利用特征函数和傅里叶变换，该方法有效处理了非零效应均值大于零假设但方差无约束的情形，为先前方法提供了互补方案，并展现出强大的理论与实证性能。

ABSTRACT

In a recent paper (Efron (2004)), Efron pointed out that an important issue in large-scale multiple hypothesis testing is that the null distribution may be unknown and need to be estimated. Consider a Gaussian mixture model, where the null distribution is known to be normal but both null parameters--the mean and the variance--are unknown. We address the problem with a method based on Fourier transformation. The Fourier approach was first studied by Jin and Cai (2007), which focuses on the scenario where any non-null effect has either the same or a larger variance than that of the null effects. In this paper, we review the main ideas in Jin and Cai (2007), and propose a generalized Fourier approach to tackle the problem under another scenario: any non-null effect has a larger mean than that of the null effects, but no constraint is imposed on the variance. This approach and that in \cite{JC} complement with each other: each approach is successful in a wide class of situations where the other fails. Also, we extend the Fourier approach to estimate the proportion of non-null effects. The proposed procedures perform well both in theory and in simulated data.

研究动机与目标

• 解决在理论零假设分布非标准正态分布时，大规模多重检验中未知零假设参数（均值与方差）估计的挑战。
• 开发一种方法，通过聚焦于非零效应均值较大但方差无约束的情形，与现有基于傅里叶的方法形成互补。
• 将傅里叶框架扩展至估计高维设置下非零效应的比例。
• 为复杂数据（如基因芯片研究）中的经验零假设估计提供一个理论基础坚实且实证有效的方案。

提出的方法

• 该方法利用特征函数与广义傅里叶变换，估计在高斯混合模型下观测数据的特征函数。
• 通过利用参数化为未知均值 $ u_0 $ 与方差 $ σ_0^2 $ 的零假设分布的特征函数，借助反演技术推导出估计量。
• 通过分析经验特征函数在特定频率下的衰减行为，估计非零效应的比例 $ \epsilon $。
• 引入一个调参参数 $ t_n $，以在估计中平衡偏差与方差，其选择具有基于样本大小与模型假设的理论依据。
• 该方法依赖于非零效应的均值大于零假设均值，且混合分布满足特定矩与尾部条件的假设。
• 通过经验特征函数与函数估计，采用两阶段估计程序，同时恢复零假设参数与非零效应比例。

实验结果

研究问题

• RQ1 当理论零假设被错误指定时，如何一致地估计大规模多重检验中未知零假设均值与方差？
• RQ2 当非零效应均值较大但方差任意时，基于傅里叶的方法的理论性能如何？
• RQ3 广义傅里叶方法能否扩展至估计高维数据中非零效应的比例？
• RQ4 在不同模型配置下，该方法与现有方法在性能与稳健性方面如何比较？
• RQ5 非零效应比例估计量以非平凡速率收敛的正则条件是什么？

主要发现

• 所提出的广义傅里叶方法在温和正则条件下，能一致估计零假设参数 $ (u_0, \sigma_0^2) $ 与非零效应比例 $ \epsilon $。
• 模拟研究显示，该方法在有限样本下表现良好，尤其在非零效应均值大于零假设均值的设定中。
• 非零效应比例 $ \epsilon_n $ 的估计量收敛于真实值的速率取决于调参频率 $ t_n $ 的选择，且在混合分布条件下可建立收敛性。
• 理论分析表明，$ \epsilon_n $ 的估计误差被限制在 $ O(n^{A\gamma - 1}) $ 内，其中 $ A\gamma < 1 $ 确保了一致性。
• 该方法对模型误设具有稳健性，在经验零假设偏离理论零假设（如基因芯片数据中）时，优于标准方法。
• 理论保证在两种不同情形下建立：一种是非零均值随机大于零假设均值；另一种是混合分布满足矩与尾部条件。