[论文解读] A generalized Vi\'ete's-like formula for pi with rapid convergence

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Advanced Mathematical Identities被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义的Viète型公式，用于快速计算π，通过利用具有K层嵌套的根式形式 $ a_K = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}} $，并结合使用 $ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ 的反正切恒等式。随着K的增加，该公式实现了显著提升的精度，展示了在高精度π近似中的快速收敛性。

ABSTRACT

We present a generalized $ ext{Vi\'ete's}$-like formula for pi with rapid convergence. This formula is based on the arctangent function identity with argument $x=\sqrt{2-{{a}_{K-1}}}/{{a}_{K}}$, where \[ {{a}_{K}}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}_{K\,\, ext{square}\,\, ext{roots}} \] is a radical consisting of $K$ nested square roots of twos. The computational test we performed reveals that the generalized $ ext{Vi\'ete's}$-like formula provides a significant improvement in accuracy as the integer $K$ increases.

研究动机与目标

• 开发Viète公式计算π的广义版本，使其收敛速度优于原始版本。
• 解决对高效且精确的无穷乘积公式的需求，以提升计算性能。
• 探讨嵌套根式 $ a_K $ 在加速三角函数乘积公式收敛速度中的作用。
• 提供一种可计算验证的方法，用于通过递归根式结构实现高精度π近似。

提出的方法

• 该方法使用具有K个平方根的嵌套根式 $ a_K = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}} $ 来定义近似序列。
• 应用参数为 $ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ 的反正切恒等式，将根式序列与三角恒等式联系起来。
• 该公式基于 $ a_K $ 的递归结构，构建π的无穷乘积表示，推广了Viète的原始公式。
• 通过逐步增加K并测量π近似值的精度，计算分析其收敛行为。
• 该方法利用已知的反切函数与嵌套根式之间的恒等式，推导出新的乘积公式。
• 通过计算测试验证该方法，结果表明随着K的增加，精度有明显提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过嵌套根式广义化Viète的经典π公式，以实现更快的收敛速度？
• RQ2 增加嵌套平方根的数量 $ K $ 对π近似精度有何影响？
• RQ3 是否可以系统性地使用参数为 $ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ 的反正切恒等式，生成收敛速度更快的π乘积公式？
• RQ4 与原始Viète公式及其他已知的π无穷乘积相比，所提出的公式在收敛速度上表现如何？

主要发现

• 随着嵌套平方根数量 $ K $ 的增加，广义公式实现了显著提升的精度。
• 计算测试证实，该公式的收敛速度明显快于原始Viète公式。
• 使用参数为 $ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ 的反正切恒等式，可系统推导出收敛速度极快的π乘积公式。
• 嵌套根式结构 $ a_K $ 在加速收敛中起关键作用，每增加一层嵌套，精度均得到提升。
• 该方法在通过逐步增加K实现迭代优化的过程中，展示了高精度计算π的实际可行性。
• 该公式在保持数学优美的同时，显著提升了计算精度。