[论文解读] A geometric inequality for warped product semi-slant submanifolds of nearly cosymplectic manifolds

Siraj Uddin, Abdulqader Mustafa+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文在近复辛流形中建立了形如 $N_T \times_f N_\theta$ 的扭曲积半斜子流形的精确几何不等式，证明当不变部分 $N_T$ 为全测地且斜部分 $N_\theta$ 为全脐时，此类子流形存在。关键结果为第二基本形式的平方范数的下界：$\|h\|^2 \geq 4q\csc^2\theta\left(1 + \frac{1}{9}\cos^2\theta\right)\|\nabla\ln f\|^2$，等号成立当且仅当 $N_T$ 为全测地且 $N_\theta$ 在全空间中为全脐。

ABSTRACT

Recently, we have shown that there do not exist the warped product semi-slant submanifolds of cosymplectic manifolds [10]. As nearly cosymplectic structure generalizes cosymplectic ones same as nearly Kaehler generalizes Kaehler structure in almost Hermitian setting. It is interesting that the warped product semi-slant submanifolds exist in nearly cosymplectic case while in case of cosymplectic do not exist. In the beginning, we prove some preparatory results and finally we obtain an inequality such as $\|h\|^2 \geq 4q\csc^2θ\{1+\frac{1}{9}\cos^2θ\}\| abla \ln f\|^2$ in terms of intrinsic and extrinsic invariants. The equality case is also considered.

研究动机与目标

• 研究近复辛流形中扭曲积半斜子流形的存在性与几何性质。
• 解决在复辛流形中此类子流形不存在而近复辛流形中存在之间的矛盾。
• 推导涉及第二基本形式、扭曲函数与斜角的精确几何不等式。
• 以子流形的几何条件刻画所导不等式的等号成立情形。

提出的方法

• 利用高斯公式与温加滕公式，将第二基本形式表示为黎曼联络与形状算子的形式。
• 应用近复辛结构条件，特别是 $(\bar{\nabla}_X\phi)X = 0$，以约束曲率与法向分量。
• 为不变分布 $\mathcal{D}$ 与斜分布 $\mathcal{D}_\theta$ 构造正交标架，并据此分解第二基本形式。
• 利用恒等式 $g(h(\phi X, Z), FZ) = (X\ln f)g(Z,Z)$ 及由近复辛条件导出的相关关系，将 $h$ 的分量表示为 $\nabla\ln f$ 的形式。
• 通过在正交标架上求和并利用涉及 $\theta$ 与 $\csc^2\theta$ 的三角恒等式进行化简，推导出不等式。
• 通过施加 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = 0$、$h(\mathcal{D}_\theta, \mathcal{D}_\theta) = 0$ 与 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}_\theta) \subset F\mathcal{D}_\theta$ 分析等号成立情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在复辛流形中此类子流形不存在，但在近复辛流形中，形如 $N_T \times_f N_\theta$ 的扭曲积半斜子流形是否存在？
• RQ2 近复辛结构对这类扭曲积的第二基本形式施加了何种几何约束？
• RQ3 能否以扭曲函数与斜角表示第二基本形式平方范数的精确不等式？
• RQ4 所导几何不等式中等号成立的充要条件是什么？
• RQ5 等号成立情形如何与子流形的极小性与曲率性质相关联？

主要发现

• 建立了精确的几何不等式：$\|h\|^2 \geq 4q\csc^2\theta\left(1 + \frac{1}{9}\cos^2\theta\right)\|\nabla\ln f\|^2$，该不等式对近复辛流形中扭曲积半斜子流形 $N_T \times_f N_\theta$ 成立。
• 等号成立当且仅当 $N_T$ 在全空间中为全测地，且 $N_\theta$ 为全脐。
• 在等号成立情形下，第二基本形式满足 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = 0$，$h(\mathcal{D}_\theta, \mathcal{D}_\theta) = 0$，且 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}_\theta) \subset F\mathcal{D}_\theta$。
• 通过关系式 $h^\star(Z,W) = -\nabla\ln f \cdot g(Z,W)$（对所有 $Z,W \in \Gamma(\mathcal{D}_\theta)$）表明子流形 $N_\theta$ 为全脐。
• 由于等号条件及 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D})$ 恒为零，不变子流形 $N_T$ 在 $\bar{M}$ 中为全测地。
• 当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，该不等式推广了此前关于接触 CR-扭曲积的结果，并在该特例中恢复了已知的界。