[论文解读] A Global Approach to the Theory of Connections in Finsler Geometry

Nabil L. Youssef, S. H. Abed+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文利用拉回形式化方法，对芬斯勒几何中的陈联络与桥口联络的存在性与唯一性定理提供了内在的、坐标无关的证明。它表明，这两种联络均由其对应的半喷射（标准喷射）与非线性联络（巴尔泽尔联络）唯一确定，并推导出这些联络与嘉当联络之间的显式内在关系，其局部表达式与经典结果一致。

ABSTRACT

Adopting the pullback approach to global Finsler geometry, the aim of the present paper is to provide intrinsic (coordinate-free) proofs of the existence and uniqueness theorems for the Chern (Rund) and Hashiguchi connections on a Finsler manifold. To accomplish this, we introduce and investigate the notions of semispray and nonlinear connection associated with a given regular connection, in the pullback bundle. Moreover, it is shown that for the the Chern (Rund) and Hashiguchi connections, the associated semispray coincides with the canonical spray and the associated nonlinear connection coincides with the Barthel connection. Explicit intrinsic expressions relating these connections and the Cartan connection are deduced. Although our investigation is entirely global, the local expressions of the obtained results, when calculated, coincide with the existing classical local results. We provide, for the sake of completeness and for comparison reasons, two appendices, one of them presenting a global survey of canonical linear connections in Finsler geometry and the other presenting a local survey of our global approach.

研究动机与目标

• 在芬斯勒几何中，为陈联络与桥口联络的存在性与唯一性定理提供坐标无关、内在的证明。
• 通过证明陈与桥口联络所关联的非线性联络与巴尔泽尔联络一致，建立拉回方法与克莱因-格里丰方法之间的几何联系。
• 推导陈联络与桥口联络相对于嘉当联络的显式内在表达式。
• 确保当全局结果在局部坐标下特例化时，能重现文献中已知的经典局部表达式。
• 为完整性与比较目的，对芬斯勒几何中的典型线性联络进行全面的全局与局部综述。

提出的方法

• 采用拉回形式化方法，在裂化切丛 $\mathcal{T}M$ 上的拉回丛 $\pi^{-1}(TM)$ 上工作，以定义 $\pi$-向量场与 $\pi$-张量场。
• 引入与拉回丛中正则联络相关的半喷射与非线性联络概念，这些是表征联络的关键要素。
• 将标准喷射 $G^h = \frac{1}{2} \gamma^{h}_{ij} y^i y^j$ 作为陈联络与桥口联络的关联半喷射。
• 证明陈联络与桥口联络所关联的非线性联络均为巴尔泽尔联络 $\Gamma^h_i = \dot{\partial}_i G^h$。
• 通过拉回形式化中的曲率与挠率张量，推导陈/桥口联络与嘉当联络之间的内在关系。
• 验证所有全局结果在转换为局部坐标时，均能重现文献中标准的经典表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在拉回形式化中，以完全内在、坐标无关的方式证明陈联络的存在性与唯一性？
• RQ2 陈联络所关联的非线性联络与巴尔泽尔联络之间的确切几何关系是什么？
• RQ3 在拉回丛中，陈联络与桥口联络相对于嘉当联络的曲率与挠率关系如何？
• RQ4 能否通过其关联的半喷射与非线性联络来表征桥口联络的内在结构？
• RQ5 当这些联络的全局内在结果在坐标下特例化时，其还原程度如何？是否与已知的经典局部表达式一致？

主要发现

• 陈联络由其关联半喷射为标准喷射且其非线性联络为巴尔泽尔联络唯一确定。
• 桥口联络所关联的非线性联络与巴尔泽尔联络一致，建立了拉回方法与克莱因-格里丰方法之间关键的几何联系。
• 推导出陈联络与嘉当联络之间的显式内在表达式，表明其差异仅存在于 $v$-联络分量，而陈联络中该分量为零。
• 桥口联络的内在推导确认了其独特结构：$\textbf{F}^h_{ij} = G^h_{ij}$，$\textbf{N}^h_i = G^h_i$，且 $\textbf{C}^{h}_{ij} = C^{h}_{ij}$，在 $v$-方向保持了嘉当联络的度量性。
• 陈联络与桥口联络的曲率张量均以嘉当联络的曲率与挠率完全表征，且给出了 $h$-、$v$-与 $hv$-曲率的特定表达式。
• 所有全局结果在转换为局部坐标时，均能重现陈联络与桥口联络的经典局部表达式，验证了内在方法的有效性。