[论文解读] A gradient method for inconsistency reduction of pairwise comparisons matrices

Jean-Pierre Magnot, Jiří Mazurek+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2021

Multi-Criteria Decision Making参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文提出一种基于梯度的算法，通过将不一致度量指标视为需最小化的势函数，来减少成对比较（PC）矩阵中的不一致。通过在一组不一致度量指标（包括Koczkodaj指数及各种平均方法）上应用梯度下降法，该方法生成了不同且非等价的一致化处理方式，揭示了不一致度量指标的选择对最终一致矩阵及优先权向量具有决定性影响。

ABSTRACT

We investigate an application of a mathematically robust minimization method -- the gradient method -- to the consistencization problem of a pairwise comparisons (PC) matrix. Our approach sheds new light on the notion of a priority vector and leads naturally to the definition of instant priority vectors. We describe a sample family of inconsistency indicators based on various ways of taking an average value, which extends the inconsistency indicator based on the "$\\sup$"- norm. We apply this family of inconsistency indicators both for additive and multiplicative PC matrices to show that the choice of various inconsistency indicators lead to non-equivalent consistencization procedures.

研究动机与目标

• 为现有不一致减少算法缺乏严谨的理论依据提供补足，这些算法未明确关联所使用的不一致度量指标。
• 通过将不一致度量指标视为需通过梯度下降最小化的势函数，重新表述一致化问题。
• 证明即使不一致度量指标在结构上相似，其选择仍会导致非等价的一致矩阵。
• 引入‘即时优先权向量’的概念，该向量动态依赖于所选的不一致度量指标，与静态优先权推导方法形成对比。
• 挑战仅最小化最大不一致（如Koczkodaj指数）的传统范式，主张采用基于平均的不一致度量方法，以更均衡地关注所有三元组。

提出的方法

• 将不一致度量指标形式化为PC矩阵空间上的可微势函数，从而支持基于梯度的优化。
• 应用经典梯度法最小化不一致度量指标，通过沿最陡下降方向更新矩阵元素。
• 基于使用算术、平方、立方及调和平均法对所有三元组的不一致度进行平均，定义一组不一致度量指标。
• 将该方法扩展至加法型与乘法型PC矩阵，表明矩阵类型的选取会影响最终的一致矩阵。
• 引入‘即时优先权向量’作为梯度过程的动态输出，其依赖于当前的不一致度量指标与矩阵状态。
• 通过数值实验比较不同不一致度量指标与矩阵类型下的收敛性与最终矩阵结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用基于梯度的最小化方法时，不一致度量指标的选择如何影响最终的一致PC矩阵？
• RQ2 能否有效将基于梯度的方法应用于一组在平均方式上有所差异的不一致度量指标（如算术平均与调和平均）？
• RQ3 不一致度量指标与最终优先权向量之间存在何种关系？梯度方法是否生成了依赖于度量指标的一致优先权向量？
• RQ4 为何仅最小化最大不一致（如通过Koczkodaj指数）在实践中可能不足或具有误导性？
• RQ5 加法型与乘法型PC矩阵在相同基于梯度的不一致减少过程中表现有何不同？

主要发现

• 基于梯度的方法成功减少了PC矩阵的不一致性，并根据所选不一致度量指标生成了不同且非等价的一致矩阵。
• 对于一个 $4 \times 4$ PC矩阵，系数 $a_{2,4}^{(n)}$ 的取值范围显著变化——从约 0.986 到 2.654——具体取决于不一致度量指标与参数设置，表明对度量指标选择具有高度敏感性。
• 该方法生成了‘即时优先权向量’，其本质上依赖于所使用的不一致度量指标，从而挑战了存在唯一通用优先权向量的假设。
• 该方法揭示了经典最小化技术并非天然与特定不一致度量指标绑定，从而引发对其理论基础与实际等价性的质疑。
• 数值结果表明，即使在关系密切的不一致度量指标（如不同平均方法）下，仍会导致不同的收敛路径与最终矩阵结构。
• 本研究批评了仅聚焦于最大不一致（如Koczkodaj指数）的倾向，主张通过在所有三元组上平均不一致度，可实现更均衡、更现实的一致性改进方法。