[论文解读] A Gromov-Witten theory for simple normal-crossing pairs without log geometry

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 7

一句话总结

该论文通过取多根叠层 Gromov-Witten 不变量在根度数 $r_i \to \infty$ 时的常数项，构造了一类无需使用对数几何的简单法向相交对 $(X,D)$ 的新 Gromov-Witten 理论。该理论捕捉了具有正负接触序的相对不变量，满足关键结构如 Givental 形式化和 Virasoro 约束，并为对数 Gromov-Witten 理论提供了一种可计算的替代方案，具有镜对称与 Frobenius 结构猜想的应用价值。

ABSTRACT

We define a new Gromov-Witten theory relative to simple normal crossing divisors as a limit of Gromov-Witten theory of multi-root stacks. Several structural properties are proved including relative quantum cohomology, Givental formalism, Virasoro constraints (genus zero) and a partial cohomological field theory. Furthermore, we use the degree zero part of the relative quantum cohomology to provide an alternative mirror construction of Gross-Siebert and to prove the Frobenius structure conjecture of Gross-Hacking-Keel.

研究动机与目标

• 为无需依赖对数几何的简单法向相交对 $(X,D)$ 定义 Gromov-Witten 理论。
• 证明多根叠层 $X_{D,\vec{r}}$ 的 Gromov-Witten 不变量在根度数 $r_i$ 上为多项式，并将该理论定义为该多项式的常数项。
• 在亏格零情形下建立相对量子上同调、Givental 形式化和 Virasoro 约束等结构性质。
• 通过相对量子上同调的零次部分，为 Gross-Siebert 的镜构造提供一种替代镜构造方法。
• 在该新理论框架下证明 Gross-Hacking-Keel 的 Frobenius 结构猜想。

提出的方法

• 定义互素 $r_i$ 的多根叠层 $X_{D,\vec{r}}$ 的 Gromov-Witten 理论，并证明当 $g > 0$ 时，其不变量在 $r_i$ 上为多项式。
• 取 $r_i \to \infty$ 时多项式在 $r_i$ 中的常数项，以定义新理论，该理论可解释为无限根叠层 $X_{D,\infty}$ 的 Gromov-Witten 理论。
• 利用局部化与退化技术，证明在根叠层设定下不变量的多项式性质。
• 构造相对量子上同调环，并建立亏格零不变量的 Givental 形式化。
• 证明亏格零情形下的弦方程、稀释方程、除子方程与 WDVV 方程，以及拓扑递归关系。
• 证明形式 Gromov-Witten 理论 $X_{D,\infty}$ 构成一个部分共形场论（部分 CohFT），满足所有公理，唯独不满足环路公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用对数几何的前提下，为简单法向相交对定义 Gromov-Witten 理论？
• RQ2 多根叠层 Gromov-Witten 不变量的常数项与具有负接触序的相对不变量之间有何关系？
• RQ3 该理论是否满足标准 Gromov-Witten 结构，如 Givental 形式化与 Virasoro 约束？
• RQ4 该理论能否用于构造 $(X,D)$ 的镜像？是否能恢复 Gross-Siebert 的构造？
• RQ5 Gross-Hacking-Keel 的 Frobenius 结构猜想在此设定下是否成立？

主要发现

• 多根叠层 $X_{D,\vec{r}}$ 的 Gromov-Witten 不变量在根度数 $r_i$ 上为多项式，其常数项对应于对 $(X,D)$ 的相对不变量。
• 当 $r_i$ 足够大时，$X_{D,\vec{r}}$ 的亏格零 Gromov-Witten 不变量与 $r_i$ 无关，从而支持无限根叠层极限的合理性。
• 新理论在亏格零情形下满足拓扑递归关系、WDVV 方程以及弦/稀释/除子方程。
• 该理论具有 Givental 形式化，并在亏格零情形下满足 Virasoro 约束。
• 相对量子上同调环的零次部分提供了一个镜代数，实现了 Gross-Siebert 的镜构造。
• 形式 Gromov-Witten 理论 $X_{D,\infty}$ 构成一个部分共形场论，满足所有公理，唯独不满足环路公理。