[论文解读] $A\_\infty$ weights and compactness of conformal metrics under $L^{n/2}$ curvature bounds

Clara L. Aldana, Gilles Carron+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文通过调和分析中的 $A_\infty$-权，建立了在标量曲率和体积的统一 $L^{n/2}$ 有界条件下，共形黎曼度量的预紧性。证明了此类序列在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于一个极限度量空间，即使出现奇点，也能对极限空间实现几何控制；然而，极限距离可能不等于共形因子逐点极限所诱导的距离，这一结论由一个具有振荡度量的反例所证实。

ABSTRACT

We study sequences of conformal deformations of a smooth closed Riemannian manifold of dimension $n$, assuming uniform volume bounds and $L^{n/2}$ bounds on their scalar curvatures. Singularities may appear in the limit. Nevertheless, we show that under such bounds the underlying metric spaces are pre-compact in the Gromov-Hausdorff topology. Our study is based on the use of $A_\infty$-weights from harmonic analysis, and provides geometric controls on the limit spaces thus obtained. Our techniques also show that any conformal deformation of the Euclidean metric on $R^n$ with infinite volume and finite $L^{n/2}$ norm of the scalar curvature satisfies the Euclidean isoperimetric inequality.

研究动机与目标

• 在标量曲率和体积控制的统一 $L^{n/2}$ 有界条件下，建立黎曼流形共形形变的序列紧性。
• 分析由于曲率集中而形成奇点时极限空间的几何结构。
• 研究 Gromov-Hausdorff 极限距离是否与共形因子逐点极限所诱导的距离一致。
• 利用调和分析工具，特别是 $A_\infty$-权，对极限空间提供几何控制。
• 阐明在共形因子呈现振荡行为时，度量极限与共形因子极限之间的区别。

提出的方法

• 使用 $A_\infty$-权控制黎曼体积测度，并确保弱-* 收敛至极限测度。
• 应用 Sobolev 嵌入与 $W^{2,n/2}$ 收敛，以控制共形因子与曲率范数。
• 通过在环面上构造振荡共形因子 $e^{2f_\ell} = 1 - \frac{1}{2}\cos(\ell x_1)$ 的反例，证明 Gromov-Hausdorff 极限可能不是黎曼度量。
• 利用稳定范数与缩放论证，将 Gromov-Hausdorff 极限识别为与周期性黎曼度量相关的 Finsler 度量。
• 比较 Gromov-Hausdorff 极限距离 $d_\infty$ 与由共形因子逐点极限诱导的距离 $d_{f_\infty}$。
• 通过 $A_\infty$-权性质，建立极限距离与原度量之间的双 Hölder 等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标量曲率与体积的统一 $L^{n/2}$ 有界条件下，共形度量序列在 Gromov-Hausdorff 拓扑下是否预紧？
• RQ2 Gromov-Hausdorff 极限距离能否由极限共形因子实现？
• RQ3 $A_\infty$-权结构对极限测度与度量提供了何种几何与分析控制？
• RQ4 振荡共形因子如何影响距离与体积测度的收敛性？
• RQ5 在共形因子弱收敛的情况下，Gromov-Hausdorff 极限在何种情况下不为黎曼度量？

主要发现

• 在体积统一有界且标量曲率 $L^{n/2}$ 有界的条件下，共形度量序列在 Gromov-Hausdorff 拓扑下预紧。
• 极限度量空间与原度量之间双 Hölder 等价，确保了拓扑稳定性。
• 黎曼体积测度弱-* 收敛至一个相对于原测度为强 $A_\infty$ 权的极限测度。
• Gromov-Hausdorff 极限距离 $d_\infty$ 可能不等于由共形因子逐点极限诱导的距离 $d_{f_\infty}$。
• 一个具有振荡共形因子 $e^{2f_\ell} = 1 - \frac{1}{2}\cos(\ell x_1)$ 的反例表明，Gromov-Hausdorff 极限为 Finsler 非黎曼度量，而共形因子极限给出的是欧氏度量。
• 在反例中，标量曲率的 $L^{n/2}$-范数保持有界，但曲率张量的 $L^{n/2}$-范数发散，凸显了曲率有界性对主要紧致性结果的必要性。