[论文解读] A Joint Quantile and Expected Shortfall Regression Framework

Timo Dimitriadis, Sebastian Bayer|RePEc: Research Papers in Economics|Apr 7, 2017

Statistical Methods and Inference被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的联合回归框架，通过严格一致的损失函数，同时对条件分位数和预期短缺（ES）进行建模。该方法在不假设完整条件分布的前提下，实现了回归参数的M-估计与Z-估计，且在弱正则性条件下建立了相合性与渐近正态性，其中M-估计因数值稳定性更优而被推荐。

ABSTRACT

We introduce a novel regression framework which simultaneously models the quantile and the Expected Shortfall (ES) of a response variable given a set of covariates. This regression is based on a strictly consistent loss function for the pair quantile and ES, which allows for M- and Z-estimation of the joint regression parameters. We show consistency and asymptotic normality for both estimators under weak regularity conditions. The underlying loss function depends on two specification functions, whose choice affects the properties of the resulting estimators. We find that the Z-estimator is numerically unstable and thus, we rely on M-estimation of the model parameters. Extensive simulations verify the asymptotic properties and analyze the small sample behavior of the M-estimator for different specification functions. This joint regression framework allows for various applications including estimating, forecasting, and backtesting ES, which is particularly relevant in light of the recent introduction of ES into the Basel Accords.

研究动机与目标

• 解决在给定协变量条件下，预期短缺（ES）缺乏直接回归框架的问题，尽管ES已被巴塞尔III规定采用。
• 通过利用VaR与ES的联合可估性，借助双变量损失函数，克服ES的不可估性。
• 构建一个半参数回归模型，利用协变量同时估计α-分位数与ES。
• 在弱正则性条件下，为M-估计量与Z-估计量建立理论性质——相合性与渐近正态性。
• 研究指定函数对估计量效率、数值稳定性与计算性能的影响。

提出的方法

• 采用Fissler与Ziegel（2016）提出的针对（分位数，ES）对的严格一致损失函数，确保真实参数最小化期望损失。
• 应用M-估计与Z-估计来估计联合回归参数，无需假设完整的分布。
• 推导Z-估计量的估计方程，并基于联合损失函数制定M-估计的目标准则函数。
• 在损失函数中引入指定函数，以影响估计量的渐近方差与数值行为。
• 通过模拟评估有限样本性能，包括偏差、方差与不同指定函数选择下的计算时间。
• 证明M-估计在数值上稳定，而Z-估计存在不稳定性，因此在实践中推荐使用M-估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个联合回归框架，利用协变量同时对条件分位数与预期短缺进行建模？
• RQ2 使用（分位数，ES）对的严格一致损失函数，是否能够在不假设完整条件分布的前提下，实现有效的M-估计与Z-估计？
• RQ3 损失函数中指定函数的不同选择如何影响估计量的渐近方差、矩条件与数值稳定性？
• RQ4 在不同设计设定下，联合分位数-ES模型的M-估计量具有怎样的有限样本性质？
• RQ5 由于Z-估计存在数值不稳定性，M-估计在实践中是否优于Z-估计？

主要发现

• 所提出的联合回归框架是首个在不假设完整条件分布的前提下，利用协变量实现分位数与ES半参数估计的框架。
• 在弱正则性条件下，M-估计量与Z-估计量均具有相合性与渐近正态性，验证了该方法的理论基础。
• Z-估计量在实践中表现出数值不稳定性，尽管理论有效，但不适合实际应用。
• 由于M-估计具有更优的数值稳定性与可靠的收敛行为，因此被推荐使用。
• 损失函数中指定函数的选择影响渐近方差与所需的矩条件，但不影响估计量的相合性与渐近正态性。
• 模拟结果证实，M-估计量在有限样本下表现良好，偏差较低，且在不同指定函数下覆盖率接近名义水平。