[论文解读] A Kohno-Drinfeld theorem for quantum Weyl groups

Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文证明了一个猜想：对于 $\mathfrak{sl}_n$ 的 Cartan 子代数的正则部分上，$W$-等变平坦联络的单值(monodromy)等价于量子 Weyl 群对量子群 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ 的有限维表示上的一般化 braid 群 $B_n$ 的作用。证明利用了 $\mathfrak{gl}_k$ 与 $\mathfrak{gl}_n$ 之间的对偶性，将联络与 Knizhnik–Zamolodchikov 方程联系起来，并通过 Kohno–Drinfeld 定理，利用 $R$-矩阵作用识别单值表示。

ABSTRACT

Let g be a complex, simple Lie algebra and t a Cartan subalgebra of g. A new unitary, flat connection on t with values in any finite-dimensional g-module V and simple poles along the root hyperplanes was recently introduced by J. Millson and myself. This connection depends upon a complex parameter h and I conjectured that its monodromy is equivalent to the quantum Weyl group representation of the braid group of type g defined by Lusztig, Kirillov-Reshetikhin and Soibelman via the quantum group U_{h}g. In this paper, I prove this conjecture for g=sl_{n}.

研究动机与目标

• 证明关于 $\mathfrak{sl}_n$ 的 $W$-等变平坦联络在 $\mathfrak{h}_{\operatorname{reg}}$ 上的单值与广义 braid 群 $B_{\mathfrak{g}}$ 的量子 Weyl 群作用等价的猜想。
• 通过 $\mathfrak{gl}_k$ 与 $\mathfrak{gl}_n$ 的对偶作用，建立平坦联络 $\nabla_\kappa$ 与 Knizhnik–Zamolodchikov 联络之间的联系。
• 证明 $\mathfrak{sl}_n$ 的 $\nabla_\kappa$ 的单值与 $\mathfrak{gl}_k$–$\mathfrak{gl}_n$ 对偶下 $U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ 的 $R$-矩阵表示一致。
• 通过证明对偶性将 $U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ 的 $R$-矩阵表示与 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ 的量子 Weyl 群表示互换，完成识别。

提出的方法

• 利用 $\mathfrak{gl}_k$ 与 $\mathfrak{gl}_n$ 在 $k\times n$ 矩阵空间 $\mathcal{M}_{k,n}$ 上的作用对偶性，将 $\mathfrak{sl}_n$ 的联络 $\nabla_\kappa$ 与 $\mathfrak{sl}_k$ 的 Knizhnik–Zamolodchikov 联络联系起来。
• 应用 Kohno–Drinfeld 定理，将 $\mathfrak{sl}_k$ 的 KZ 联络的单值与 $U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ 在 $V^{\bigotimes n}$ 上的 $R$-矩阵表示等同起来。
• 利用 $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$ 与 $U_\hbar\mathfrak{gl}_n$ 之间的对偶性，将 $U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ 的 $R$-矩阵表示与 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ 的量子 Weyl 群表示识别为同一对象。
• 构造一个扭变 $F^{(n)}$，实现 $\mathfrak{gl}_k$-模 $\mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ 与 $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$-模 $\mathcal{S}_\hbar^\nu\mathbb{C}^k$ 之间的同构，同时保持 braid 群作用不变。
• 依赖于 $\mathcal{S}_\hbar^\nu\mathbb{C}^k$ 与 $\mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ 作为 $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$-模的识别，该识别通过量子对称代数结构实现。
• 推导出单值表示 $\pi_\kappa^h(T_j)$ 为包含量子 Weyl 群元素 $S_j$ 与权算子 $D_j^{(n)}$ 指数因子的共轭作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathfrak{sl}_n$ 的 $\mathfrak{h}_{\operatorname{reg}}/W$ 上，$W$-等变平坦联络 $\nabla_\kappa$ 的单值是否与 braid 群 $B_n$ 的量子 Weyl 群作用一致？
• RQ2 $\mathfrak{gl}_k$ 与 $\mathfrak{gl}_n$ 之间的对偶性是否可用于将 $\mathfrak{sl}_n$ 的 $\nabla_\kappa$ 与 $\mathfrak{sl}_k$ 的 Knizhnik–Zamolodchikov 联络联系起来？
• RQ3 在 $\mathfrak{gl}_k$–$\mathfrak{gl}_n$ 对偶下，$U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ 在对称幂上的 $R$-矩阵表示是否等价于 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ 的量子 Weyl 群表示？
• RQ4 单值算子 $\pi_\kappa^h(T_j)$ 是否可表示为通过扭变 $F^{(n)}$ 实现的量子 Weyl 群元素 $S_j$ 的共轭作用？

主要发现

• 在 $\mathfrak{sl}_n$ 的 $\mathfrak{h}_{\operatorname{reg}}/W$ 上，平坦联络 $\nabla_\kappa$ 的单值与 $B_n$ 在任意有限维 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$-模上的量子 Weyl 群作用同构。
• $\mathfrak{gl}_k$ 与 $\mathfrak{gl}_n$ 之间的对偶性将 $\mathfrak{sl}_k$ 的 Knizhnik–Zamolodchikov 联络与 $\mathfrak{sl}_n$ 的联络 $\nabla_\kappa$ 互换，建立了其单值表示之间的对应关系。
• 在对偶性下，$U_\hbar\mathfrak{sl}_k$ 在 $\bigoplus_{\nu\in\SS_n\mu} \mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ 上的 $R$-矩阵表示，通过扭变 $F^{(n)}$ 与 $U_\hbar\mathfrak{sl}_n$ 的量子 Weyl 群表示等价。
• 单值算子 $\pi_\kappa^h(T_j)$ 由 $F^{(n)}{-1} S_j e^{-\hbar H_j^{(n)}/2} F^{(n)}$ 给出，其中 $H_j^{(n)}$ 是 $\mathfrak{sl}_n$ 的第 $j$ 个单根对应的权算子。
• $\mathcal{S}_\hbar^\nu\mathbb{C}^k$ 与 $\mathcal{S}^\nu\mathbb{C}^k[[\hbar]]$ 作为 $U_\hbar\mathfrak{gl}_k$-模的识别，使得 Kohno–Drinfeld 定理可在量子设定下使用。