[论文解读] A Least Squares Approach for Stable Phase Retrieval from Short-Time Fourier Transform Magnitude

Tamir Bendory, Yonina C. Eldar|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了三种新颖的算法，用于从短时傅里叶变换（STFT）幅度测量中实现稳定相位恢复，采用最小二乘法和半定规划（SDP）实现鲁棒、抗噪声的信号恢复，且无需事先了解信号。主要贡献在于一种具有理论稳定性保证的最小二乘法，在温和的窗函数约束下表现优异，优于现有方法，在效率和鲁棒性方面更优，并通过SDP公式实现噪声鲁棒性的灵活权衡。

ABSTRACT

We address the problem of recovering a signal (up to global phase) from its short-time Fourier transform (STFT) magnitude measurements. This problem arises in several applications, including optical imaging and speech processing. In this paper we suggest three interrelated algorithms. The first algorithm estimates the signal efficiently from noisy measurements by solving a simple least-squares (LS) problem. In contrast to previously proposed algorithms, the LS approach has stability guarantees and does not require any prior knowledge on the sought signal. However, the recovery is guaranteed under relatively strong restrictions on the STFT window. The second approach is guaranteed to recover a non-vanishing signal efficiently from noise-free measurements, under very moderate conditions on the STFT window. Finally, the third method estimates the signal robustly from noisy measurements by solving a semi-definite program (SDP). The proposed SDP algorithm contains an inherent trade-off between its robustness and the restrictions on the STFT windows that can be used.

研究动机与目标

• 解决光学成像和语音处理等应用中，从STFT幅度测量中进行病态相位恢复的问题。
• 开发具有理论稳定性与抗噪声能力的算法，克服先前方法依赖信号先验或对噪声敏感的局限性。
• 提供高效、可扩展的信号恢复解决方案，无需假设信号稀疏性或非零元素。
• 通过SDP公式建立噪声鲁棒性与STFT窗函数约束之间的灵活权衡。
• 在现有代数与优化方法基础上，引入理论保证与实际效率。

提出的方法

• 提出算法1：一种基于最小二乘法（LS）的方法，通过求解一个简单的凸优化问题，从含噪STFT幅度中估计信号，在温和窗条件下的稳定性得到保证。
• 提出算法2：一种高效的代数方法，可在无噪声STFT幅度下精确恢复非零信号，其窗函数约束弱于先前的代数方法。
• 开发算法3：一种半定规划（SDP），通过在STFT幅度的DFT上施加约束，平衡抗噪声能力与窗函数限制。
• 以STFT幅度的DFT作为输入，通过结构化矩阵 $\mathbf{Z}[m,\ell]$ 将相位恢复问题转化为矩阵恢复任务。
• 通过 $\mathbf{G}_\ell$ 矩阵对估计的格拉姆矩阵对角线元素施加约束，确保与观测到的STFT幅度数据一致。
• 利用SDP解的特征值分解，从最优 $\widetilde{\mathbf{X}}$ 的主特征向量中恢复信号估计 $\hat{\mathbf{x}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小二乘法能否在不依赖信号先验知识的前提下，实现从含噪STFT幅度中的稳定且鲁棒的相位恢复？
• RQ2 能否在保持无噪声条件下精确恢复的前提下，放宽现有代数相位恢复方法中的窗函数约束？
• RQ3 如何设计SDP公式，以在STFT基相位恢复中平衡噪声鲁棒性与窗函数灵活性？
• RQ4 所提算法在计算复杂度、抗噪声能力与窗函数约束之间的权衡如何？
• RQ5 与现有方法（如Griffin-Lim和[21]中的SDP）相比，所提算法在准确性、速度和稳定性方面表现如何？

主要发现

• 算法1在高信噪比下与GLA和[21]中的SDP精度相当，但速度分别提升了27倍和2634倍。
• 算法2在无噪声、非零信号条件下，对长度为 $W=5$、$W=23$ 和 $W=41$ 的矩形窗，恢复误差可忽略不计（平均误差 $3.52 \times 10^{-12}$）。
• 算法3在低信噪比和小 $\lambda$（如 $\lambda=3$）下仍表现稳定，当 $\lambda$ 超过 $W$ 时，恢复误差仅略有下降。
• 算法3中的SDP公式在 $\lambda=5$ 和 $\lambda=23$ 时，分别将运行时间减少3.5倍和12倍，同时保持或提升了鲁棒性。
• 将 $\lambda$ 增加至 $W$ 可提升估计精度，但进一步增加带来的收益递减，与理论预测一致。
• 所有算法均可扩展至高维场景，在最大STFT重叠（$L=1$）下表现良好，$L>1$ 的情况留待未来工作。