[论文解读] A Lifting Construction for Scalar Linear Index Codes

Roop Kumar Bhattaram, Mahesh Babu Vaddi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出一种提升构造方法，从一个基础问题出发，生成一系列对称的多播索引编码问题，其消息和接收者数量为整数倍。若基础问题存在最优标量线性索引编码，则该构造可保证所有提升后的问题也能获得最优标量线性编码，从而为此前未知配置的新一类容量可达编码提供了构建途径。

ABSTRACT

This paper deals with scalar linear index codes for canonical multiple unicast index coding problems where there is a source with K messages and there are K receivers each wanting a unique message and having symmetric (with respect to the receiver index) antidotes (side information). Optimal scalar linear index codes for several such instances of this class of problems have been reported in \cite{MRRarXiv}. These codes can be viewed as special cases of the symmetric unicast index coding problems discussed in \cite{MCJ}. In this paper a lifting construction is given which constructs a sequence of multiple unicast index problems starting from a given multiple unicast index coding problem. Also, it is shown that if an optimal scalar linear index code is known for the problem given starting problem then optimal scalar linear index codes can be obtained from the known code for all the problems arising from the proposed lifting construction. For several of the known classes of multiple unicast problems our construction is used to obtain several sequences of multiple unicast problem with optimal scalar linear index codes.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，从已知的最优标量线性编码问题出发，生成新的对称多播索引编码问题。
• 确保基础问题的最优标量线性索引编码可通过提升过程，转化为所有派生问题的最优编码。
• 研究提升后问题的结构特性，并识别出具有已知最优解的新一类索引编码问题。
• 探究提升过程是否保持关键性，并适用于噪声通信场景。

提出的方法

• 该提升构造从一个具有 K 个消息且具有对称反向信息模式的基底多播索引编码问题开始。
• 对于任意整数 m ≥ 2，该方法构建一个新的问题，其包含 mK 个消息和接收者，每个接收者的反向信息在 m 个大小为 K 的块中被复制。
• 将基底最优标量线性编码中的码符号通过替换每个消息符号 y_k 为 ∑_{i=0}^{m-1} x_{k+iK} 的和来提升，形成长度相同的新型编码。
• 通过证明该和中的每个消息符号在相同块内及跨块的所有其他接收者处均作为旁听信息可用，从而验证提升编码的有效性。
• 该构造在保持原始编码结构的同时，将其扩展至具有对称、周期性反向信息模式的更大规模问题实例。
• 该方法被应用于十个已知的具有单向反向信息的对称多播问题类别，生成了具有最优编码的新问题家族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种系统化构造方法，从已知的最优基底问题出发，生成新的对称多播索引编码问题？
• RQ2 提升过程是否在所有提升后的问题实例中保持标量线性索引编码的最优性？
• RQ3 提升后的问题中是否存在结构不变量，使得原始最优编码仍保持最优？
• RQ4 该提升构造能否生成此前未知具有最优标量线性编码的索引编码问题新类别？
• RQ5 该提升构造对噪声索引编码或抗错通信具有何种影响？

主要发现

• 该提升构造从一个具有 K 个消息的基底问题出发，为任意整数 m ≥ 2 生成一系列具有 mK 个消息和接收者的对称多播索引编码问题。
• 若基底问题存在最优标量线性编码，则通过消息替换（y_k → ∑_{i=0}^{m-1} x_{k+iK}）构造的提升编码，对所有提升后的问题也均为最优。
• 当 m=2 时，将基底问题（K=19, D=14）应用该构造，可生成一个新问题（K=38, D=24），其最优编码长度为 14。
• 当 m=3 时，相同基底问题生成的问题（K=57, D=43）具有长度为 14 的最优编码，展示了其可扩展性。
• 该构造识别出：将问题从某一类别提升后可能落入另一已知类别（例如，当 m=2 时，情况1映射到情况2），以及提升后保持类别的不变性（两个情况在提升下保持不变）。
• 该方法生成了多个新的对称多播索引编码问题类别，对这些类别，已显式构造出最优标量线性编码并证明其最优性。