[论文解读] A Liouville Theorem for the Fractional Laplacian

Ran Zhuo, Wenxiong Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 38

一句话总结

本文建立了分数阶拉普拉斯算子的刘维尔定理，证明在 $×^n$（$n \geq 2$）中，任何非负的 $α$-调和函数必为常数，将经典的刘维尔定理推广至非局部算子。该结果被用于证明一类半线性伪微分方程与其对应积分方程之间的等价性，从而在无需强正则性假设的前提下，获得解的更强的定性结果。

ABSTRACT

We extend the classical Liouville Theorem from Laplacian to the fractional Laplacian, that is, we prove Every $α$-harmonic function bounded either above or below in all of $R^n$ must be constant.

研究动机与目标

• 将经典调和函数的刘维尔定理推广至分数阶拉普拉斯算子这一非局部算子。
• 证明在 $×^n$（$n \geq 2$）中，任何有上界或有下界的 $α$-调和函数必为常数。
• 建立半线性伪微分方程 $(-Δ)^{\alpha/2}u = u^p$ 与其积分形式 $u(x) = \int_{\u00d7^n} \frac{c_n}{|x-y|^{n-\alpha}} u^p(y) dy$ 之间的等价性。
• 利用该等价性，基于弱于以往工作的可积性假设，推导出分数阶 Lane-Emden 方程解的更强定性性质。

提出的方法

• 定义 $u_k(x)$ 为通过在 $B_k$ 外部使用泊松核对 $u$ 进行截断与延拓后的版本，确保 $u_k$ 在 $B_k$ 外部为 $\alpha$-调和函数，且当 $k \to \infty$ 时逼近 $u$。
• 利用分数阶拉普拉斯算子的弱形式，并对均值为零的光滑紧支集函数 $\psi$ 进行测试，以利用积分表示中的相消性质。
• 对 $w_R = u - v_R$ 应用最大值原理，其中 $v_R$ 是在 $B_R$ 上的格林函数解，以证明 $w_R \geq 0$，从而得到 $u \geq v_R$。
• 取极限 $R \to \infty$，得到 $u(x) \geq \int_{\u00d7^n} \frac{c_n}{|x-y|^{n-\alpha}} u^p(y) dy$，并使用反证法证明等式成立。
• 利用刘维尔定理得出 $u$ 与积分算子之间的差为常数，并证明该常数必为零，以避免发散。
• 将等价性结果与 [CLO] 和 [CLO1] 中关于积分方程解的已知分类结果相结合，推导出原 PDE 的精确定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典调和函数的刘维尔定理是否可推广至作为非局部算子的分数阶拉普拉斯算子？
• RQ2 能否证明在 $\u00d7^n$（$n \geq 2$）中，每个非负的 $\alpha$-调和函数均为常数，即使该算子是非局部的？
• RQ3 在 $\u00d7^n$ 中，半线性分数阶 PDE $(-\Delta)^{\alpha/2}u = u^p$ 与其积分形式之间是否存在等价性？
• RQ4 在弱于以往要求的假设下，能否将积分方程解的分类结果转移到 PDE 设置中？

主要发现

• 在 $\u00d7^n$（$n \geq 2$）中，任何非负的 $\alpha$-调和函数必为常数，从而证明了非局部版本的刘维尔定理。
• 在 $\u00d7^n$ 中，分数阶 PDE $(-\Delta)^{\alpha/2}u = u^p$ 与积分方程 $u(x) = \int_{\u00d7^n} \frac{c_n}{|x-y|^{n-\alpha}} u^p(y) dy$ 对于 $L_\alpha$ 中的非负强解是等价的。
• 在临界情形 $p = \frac{n+\alpha}{n-\alpha}$ 下，所有非负解必为形式 $u(x) = c\left(\frac{t}{t^2 + |x - x_0|^2}\right)^{(n-\alpha)/2}$，其中 $t > 0$，$x_0 \in \u00d7^n$。
• 在次临界情形 $1 < p < \frac{n+\alpha}{n-\alpha}$ 下，唯一的非负解为 $u \equiv 0$。
• 结果在更弱的假设 $u \in L_\alpha$ 下成立，该假设严格弱于以往工作所需的 $H^{\alpha/2}$ 正则性。
• 证明过程避免了有界性或额外正则性假设，使得结果适用于比以往方法更广泛的解类。