[论文解读] A local trace formula for Anosov flows (with an appendix by Frédéric Naud)

Long Jin, Frédéric Naud+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文為Anosov流建立了局部迹公式，將Pollicott–Ruelle共振態與閉軌道的週期及線性化Poincaré映射聯繫起來。證明了在任何足夠寬的條帶內，共振態計數函數不可能呈次線性增長，從而表明任何緊緻流形上的Anosov流都存在無限多個共振態。

ABSTRACT

We prove a local trace formula for Anosov flows. It relates Pollicott--Ruelle resonances to the periods of closed orbits. As an application, we show that the counting function for resonances in a sufficiently wide strip cannot have a sublinear growth. In particular, for any Anosov flow there exist strips with infinitely many resonances.

研究动机与目标

• 建立一個局部跡公式，將Anosov流中Pollicott–Ruelle共振態與閉軌道的週期及Poincaré映射聯繫起來。
• 解決Anosov流在緊緻流形上其共振態集合是否總是無限的開放問題。
• 證明條帶內共振態計數函數不可能呈次線性增長，從而推導出無限多個共振態的存在。
• 提供一個分佈恆等式，將共振態之和與具有動力學數據的本質週期軌道之和聯繫起來。
• 展示跡公式中誤差項的解析延拓，並在複平面上界定其增長。

提出的方法

• 以分佈恆等式形式推導局部跡公式：對所有滿足 Im(μ) > -A 的共振態 μ 求和 e^{-iμt}，再加上餘項分佈 F_A(t)，等於對所有本質週期軌道 γ 求和，涉及 T_γ^# 和 |det(I - P_γ)|。
• 利用預解式 (P - λ)^{-1} 在 ℂ 上存在梅雷莫爾菲克延拓的事實，將Pollicott–Ruelle共振態定義為極點。
• 採用Dyatlov–Zworski對共振態的定義：即當 ε → 0+ 時，P + iεΔ_g 的特徵值的極限。
• 證明餘項 F_A 的傅里葉變換在 {Im(λ) < A} 內具有解析延拓，且在 Im(λ) < A - ε 時增長不超過 ⟨λ⟩^{2n+1}。
• 利用泊松求和公式與懸垂流的跡公式，針對線性Anosov映射的實解析擾動情形，明確計算動力學側。
• 利用轉移算子 T(f) = f∘F 的跡類性質，以及跡公式 ∑_{F^p x = x} |det(I - D_x F^p)|^{-1} = ∑_k e^{-ipλ_k}，計算跡公式的動力學側。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為一般Anosov流建立局部跡公式，將共振態與週期軌道聯繫起來？
• RQ2 Pollicott–Ruelle共振態是否總是聚集在條帶內，還是可能僅有有限多個？
• RQ3 條帶內共振態計數函數是否必然呈次線性增長，還是可能至少呈線性增長？
• RQ4 懸垂流的跡公式之動力學側能否在Anosov映射上明確計算？
• RQ5 典型的Anosov映射是否會導致無限多個Ruelle共振態，進而導致流中出現無限多條水平的Pollicott–Ruelle共振態線？

主要发现

• 建立了局部跡公式：在 (0,∞) 上的分佈意義下，∑_{μ∈Res(P), Im(μ)>-A} e^{-iμt} + F_A(t) = ∑_{γ∈G} T_γ^# δ(t - T_γ) / |det(I - P_γ)|。
• 餘項分佈 F_A 的傅里葉變換在 {Im(λ) < A} 內解析，且在 Im(λ) < A - ε 時有界於 O_A,ε(⟨λ⟩^{2n+1})。
• 任何條帶 {Im(μ) > -A} 內共振態的計數函數不可能以低於 r^δ（δ < 1）的速度增長，從而推導出無限多個共振態的存在。
• 對於線性Anosov映射的實解析擾動，懸垂流的共振態為 (2πj + λ_k)/r，其中 j ∈ ℤ，k ∈ ℕ，在複平面上形成晶格。
• 在線性Anosov映射（如Arnold貓映射）的情形下，Ruelle共振態集中在 1，導致共振態位於 (2π/r)ℤ，即一組離散的實數共振態。
• 該結果確認了任何緊緻流形上的Anosov流，其本質譜間隙 ν_1 為有限值，從而解決了一個長期存在的開放問題。