[论文解读] A local true Hamiltonian for the CGHS model in new variables

Saeed Rastgoo|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文在不使用共形变换的前提下，以新型 Ashtekar 类变量重新表述了 CGHS 模型，通过规范固定和重标度假设/位移，推导出一个局部真实哈密顿量。该方法实现了强阿贝尔约束代数，使系统适用于环状量子引力，并在真空与物质耦合情况下均获得局部运动方程。

ABSTRACT

Following our previous work, a complete classical solution of the CGHS model in Hamiltonian formulation in new variables is given. We preform a series of analyses and transformations to get to the CGHS Hamiltonian in new variables from a generic class of two dimensional dilatonic gravitational systems coupled to matter. This gives us a second class system, a total Hamiltonian consisting of a Hamiltonian constraint, a diffeomorphism constraint and two second class constraints. We calculate the Dirac brackets, bring them to a standard form similar to the Poisson brackets by introducing a new variable. Then by rescaling lapse and shift, the Hamiltonian constraint is transformed into a form where it has an strong Abelian algebra with itself. This property holds both in vacuum case and in case with matter coupling. Then for each of the vacuum and the coupled-to-matter cases, we preform two gauge fixings, one set for each case, and solve the classical system completely in both cases. The gauge fixing of the case coupled to matter is done by implementing a method based on canonical transformation to a new set of variables and leads to a true local Hamiltonian. We also show that our formalism is consistent with the original CGHS paper by showing that the equations of motion are the same in both cases. Finally we derive the relevant surface term of the model.

研究动机与目标

• 在不假设共形变换的前提下，以具有直接几何意义的 Ashtekar 类变量重新表述 CGHS 模型。
• 实现哈密顿约束的强阿贝尔代数，使系统适合于环状量子引力的量化。
• 通过正则规范固定，为物质耦合的 CGHS 模型推导出一个局部真实哈密顿量，确保局部运动方程。
• 通过匹配运动方程，证明新哈密顿量形式与原始 CGHS 拉格朗日量的等价性。
• 推导并比较新形式的边界项与标准 CGHS ADM 质量边界项。

提出的方法

• 推导一个包含物质的通用二维标量引力作用量，其中 CGHS 模型为特例，且不假设标量场具有动能项。
• 从度规- tetrad 拉格朗日量出发，通过勒让德变换，转换为新正则变量下的哈密顿形式。
• 为 CGHS 模型引入 Ashtekar 类变量，保持其几何意义，避免共形重定义。
• 对第二类系统应用狄拉克约束分析，计算狄拉克括号，并通过新变量将其转换为类似泊松括号的形式。
• 通过重标度假设/位移，使哈密顿约束在真空与物质耦合情况下均为强阿贝尔代数（即与自身对易）。
• 通过正则变换实施两种不同的规范固定——真空与物质耦合情形——以获得局部真实哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用共形变换且保持几何意义的前提下，将 CGHS 模型以 Ashtekar 类变量重新表述？
• RQ2 重标度假设/位移是否能在真空与物质耦合情况下均使哈密顿约束代数变为强阿贝尔代数？
• RQ3 能否通过正则规范固定，为物质耦合的 CGHS 模型推导出一个局部真实哈密顿量？
• RQ4 新哈密顿量形式的运动方程是否与原始 CGHS 拉格朗日量的运动方程等价？
• RQ5 新形式中的边界项形式为何？其与标准 ADM 质量边界项相比如何？

主要发现

• 哈密顿约束被转化为一种与自身对易的形式，从而形成结构常数而非结构函数的李代数结构。
• 成功为物质耦合的 CGHS 模型推导出一个局部真实哈密顿量，确保了局部运动方程，并促进了量化处理。
• 新形式推导出的运动方程与原始 CGHS 模型一致，证实了其与标准形式的相容性。
• 新形式中推导出的边界项与标准 ADM 质量边界项一致，ADM 质量表达为 $ M = \frac{1}{2h}\left(\frac{h^{\prime 2}}{E^{\varphi 2}} - K_{\varphi}^{2}\right) $，并在规范固定下进一步简化为 $ M = b + 2h\lambda^{2} $。
• 在不使用共形变换的前提下采用 Ashtekar 类变量，保留了其几何解释，并简化了正则变量的物理诠释。
• 约束代数现为李代数，使得环状量子引力技术（特别是奇点消除与聚合化方案）得以应用。