[论文解读] A low-rank based estimation-testing procedure for matrix-covariate regression

Hung Hung, Zhi-Yu Jou|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Gene expression and cancer classification参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种低秩矩阵协变量回归方法，通过利用矩阵预测变量固有的低秩结构，联合估计效应大小并检验显著性，显著提高了传统高维方法的估计效率和检测功效。该方法无需可识别性约束即可实现同时推断，并在真实生物医学数据中识别出稀疏或低秩效应。

ABSTRACT

Matrix-covariate is now frequently encountered in many biomedical researches. It is common to fit conventional statistical models by vectorizing matrix-covariate. This strategy, however, results in a large number of parameters, while the available sample size is relatively too small to have reliable analysis results. To overcome the problem of high-dimensionality in hypothesis testing, variance component test has been proposed with promise detection power, but is not straightforward to provide estimates of effect size. In this work, we overcome the problem of high-dimensionality by utilizing the inherent structure of the matrix-covariate. The advantage is that estimation and hypothesis testing can be conducted simultaneously as in the conventional case, while the estimation efficiency and detection power can be largely improved, due to a parsimonious parameterization for the coefficients of matrix-covariate. Our method is applied to test the significance of gene-gene interactions in the PSQI data, and is applied to test if electroencephalography is associated with the alcoholic status in the EEG data, wherein sparse effects and low-rank effects of matrix-covariates are identified, respectively.

研究动机与目标

• 解决矩阵协变量回归中参数数量（pq）远超样本量的高维估计与检验问题。
• 克服传统向量化方法因高维性导致的不稳定性与功效低下问题。
• 开发一种统一的推断程序，同时实现系数矩阵效应大小的估计与矩阵协变量与响应变量之间整体关联的检验。
• 提供一种无需对系数矩阵的低秩参数化施加可识别性约束的方法。
• 在真实数据上展示该方法的性能，识别出PSQI和EEG数据集中具有生物学意义的稀疏与低秩效应。

提出的方法

• 通过将系数矩阵 $\boldsymbol{\eta}$ 表示为低秩乘积 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}^T$ 实现参数化的简洁性。
• 使用向量化算子构建回归模型：$g\{E(Y|Z,\boldsymbol{M})\} = \gamma + \xi^T Z + \text{vec}(\boldsymbol{\eta})^T \text{vec}(\boldsymbol{M})$，其中 $\boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}^T$。
• 基于低秩结构提出两种检验统计量 $T$ 和 $T^*$，用于检验 $H_0: \boldsymbol{\eta} = \mathbf{0}$，并在正则条件下推导其渐近零分布。
• 使用参数自举法与置换检验计算检验统计量的p值，确保在小样本下的稳健性。
• 在低秩约束下通过最大似然法估计 $\boldsymbol{\eta}$，从而实现对效应大小的直接解释。
• 在建模前应用多线性主成分分析（MPCA）对高维矩阵协变量进行降维，如EEG数据分析中所采用。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参数数量相对于样本量较大时，低秩参数化是否能提升矩阵协变量回归中的检测功效？
• RQ2 与传统向量化回归相比，所提出的方法是否能提供更准确、更高效的效应大小估计？
• RQ3 该方法是否能在真实世界生物医学数据中识别出如稀疏或低秩效应等具有生物学意义的模式？
• RQ4 与现有方法（如GESAT）相比，低秩检验在第一类错误率与统计功效方面表现如何？
• RQ5 在系数矩阵的低秩分解中，若缺乏可识别性约束，该方法是否仍具有稳健性？

主要发现

• 在PSQI数据中，低秩检验统计量 $T$ 和 $T^*$ 的p值分别为0.001和0.006，而GESAT的p值为0.173，表明该方法在检测基因-基因互作方面具有更优的检测功效。
• 分析识别出三个特定的基因-基因互作（rs1144047, rs1327836, rs2269457, rs12941497）具有显著效应，表明PSQI数据中存在稀疏效应结构。
• 在EEG数据中，所有三种检验统计量（$T$, $T^*$, $T_{\text{gesat}}$）的p值均小于10^{-3}，证实EEG信号与酒精使用状态之间存在强关联。
• EEG数据中估计的系数矩阵 $\widehat{\boldsymbol{\eta}}$ 显示，大多数显著效应集中于第二行，表明信号-响应关联具有低秩结构。
• 该方法在未施加可识别性约束的情况下，成功识别出EEG数据中的低秩效应，而以往方法则通常需要此类约束。
• 结果证实，低秩建模可同时提升矩阵协变量回归的可解释性与统计功效，尤其在真实效应具有结构特征时更为显著。