[论文解读] A Mathematical Model for Optimal Decisions in a Representative Democracy

Malik Magdon‐Ismail, Lirong Xia|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2018

Game Theory and Voting Systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种代表民主制的数学模型，将其视为一个分类器集成，表明在固定投票成本下，当代表从固定规模的群体中选出时，可在多个噪声问题中实现最优决策——此时代表人数与选民人数呈线性关系；当成本与收益均为选民人数的多项式函数时，群体规模接近线性增长。该模型在一般条件下证明了决策准确性的稳定性。

ABSTRACT

Direct democracy is a special case of an ensemble of classifiers, where every person (classifier) votes on every issue. This fails when the average voter competence (classifier accuracy) falls below 50%, which can happen in noisy settings where voters have only limited information, or when there are multiple topics and the average voter competence may not be high enough for some topics. Representative democracy, where voters choose representatives to vote, can be an elixir in both these situations. Representative democracy is a specific way to improve the ensemble of classifiers. We introduce a mathematical model for studying representative democracy, in particular understanding the parameters of a representative democracy that gives maximum decision making capability. Our main result states that under general and natural conditions, 1. Representative democracy can make the correct decisions simultaneously for multiple noisy issues. 2. When the cost of voting is fixed, the optimal representative democracy requires that representatives are elected from constant sized groups: the number of representatives should be linear in the number of voters. 3. When the cost and benefit of voting are both polynomial, the optimal group size is close to linear in the number of voters. This work sets the mathematical foundation for studying the quality-quantity tradeoff in a representative democracy-type ensemble (fewer highly qualified representatives versus more less qualified representatives).

研究动机与目标

• 建立一个严格的数学框架，用于分析代表民主制作为分类器集成的机制。
• 解决代表民主制在高噪声、低能力环境下的根本性问题：是否优于直接民主制。
• 量化在不同成本结构下，能最大化决策能力的最优群体规模与代表人数。
• 形式化代表制度中的质量-数量权衡：即更少但更胜任的代表， versus 更多但能力中等的代表。
• 将康多塞陪审团定理的理论基础扩展至代表制度，特别是针对多个独立问题的情形。

提出的方法

• 将代表民主制建模为一个分类器集成，其中每个群体根据胜任度选择一名代表，代表的决策由多数决决定。
• 引入最大总和（ms）代表选择函数，即选择在各问题上胜任概率之和最高的选民。
• 将独立问题定义为：每位选民在每个问题上的胜任度独立地从区间 (1/2, 1] 上的分布中抽取。
• 运用测度集中性论证表明，当群体规模 K 较大时，代表的胜任度向量趋近于所有问题中可能的最大值。
• 应用大数定律与尾部概率界，证明随着 K 增大，代表在每个问题上胜任度高于 1/2 + ε/2 的概率趋近于 1。
• 推导出单个问题边际胜任度的下界，作为群体规模 K 的函数，表明其单调递增，并在极限下保持一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代表民主制中，为最大化决策准确性，最优代表人数是多少？
• RQ2 应如何最优地将选民划分为群体，以最大化集体决策质量？
• RQ3 当投票成本固定时，最优群体规模是多少？当成本与收益均为选民人数的多项式函数时，最优群体规模又如何？
• RQ4 代表民主制能否在多个独立、噪声问题中持续做出正确决策？
• RQ5 在决策准确性方面，最大总和代表选择规则相较于其他选择机制表现如何？

主要发现

• 在固定投票成本下，最优代表民主制要求代表从固定规模的群体中选出，导致代表人数与选民人数呈线性关系。
• 当投票成本与收益均为选民人数的多项式函数时，最优群体规模为 Ω(n / log n)，即随选民人数近乎线性增长。
• 最大总和代表民主制对独立问题具有一致性：随着群体规模 K 增大，代表在每个问题上胜任度高于 1/2 + ε/2 的概率趋近于 1。
• 代表的边际单问题胜任度随群体规模 K 单调递增，且当 K > log(ε/(1+ε)) / log(1−P) 时，其值超过 1/2，其中 P 为各项问题概率界限的乘积。
• 该模型证明，即使平均选民胜任度低于 50%，通过提升所选代表的胜任度，代表民主制仍可同时在所有问题上做出正确决策。
• 该框架为质量-数量权衡提供了定量基础，表明通过群体选择提升代表胜任度，可弥补平均选民能力不足。