[论文解读] A max-plus finite element method for solving finite horizon deterministic optimal control problems

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|ArXiv.org|Apr 8, 2004

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文提出了一种最大-加法有限元方法，通过利用最大-加法变分公式和到半模的投影，求解有限时域确定性最优控制问题。该方法在一维情形下实现了 $\sqrt{\Delta t} + \Delta x / \Delta t$ 阶的误差估计，提出了一种类伽辽金的新型方法，将有限元方法推广至最大-加法代数框架。

ABSTRACT

We introduce a max-plus analogue of the Petrov-Galerkin finite element method, to solve finite horizon deterministic optimal control problems. The method relies on a max-plus variational formulation, and exploits the properties of projectors on max-plus semimodules. We obtain a nonlinear discretized semigroup, corresponding to a zero-sum two players game. We give an error estimate of order $(Δt)^{1/2}+Δx(Δt)^{-1}$, for a subclass of problems in dimension 1. We compare our method with a max-plus based discretization method previously introduced by Fleming and McEneaney.

研究动机与目标

• 开发一种基于最大-加法代数的数值方法，用于求解有限时域确定性最优控制问题。
• 通过变分公式和半模投影，将有限元方法框架推广至最大-加法设置。
• 针对一维问题的一个子类，提供收敛性分析并给出量化的误差估计。
• 将所提方法与现有的最大-加法离散化技术（如Fleming和McEneaney的方法）进行比较。
• 通过线性二次型和距离型控制问题的数值例子，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 基于哈密顿-雅可比方程，采用基于最大-加法变分公式的最优控制问题表述。
• 利用最大-加法半模上的剩余理论和投影算子，定义离散解算子。
• 采用一种伽辽金框架，其中测试函数和试函数取自不同的函数空间。
• 通过二次有限元构造解空间的有限维逼近，通过Lipschitz有限元构造测试空间的逼近。
• 实现一种非线性半群离散化，以模拟值函数的最大-加法线性演化。
• 在Scilab中使用最大-加法工具箱进行数值实现与验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于最大-加法代数中的变分原理，为确定性最优控制问题构造最大-加法有限元方法？
• RQ2 离散解的误差如何随时间步长 $\Delta t$ 和空间步长 $\Delta x$ 的变化而变化？
• RQ3 为测试函数和试函数选择不同函数空间，对近似精度有何影响？
• RQ4 所提方法在性能和收敛性方面与现有基于最大-加法的离散化方案相比如何？
• RQ5 在何种条件下，基于投影的离散化能收敛于真实的值函数？

主要发现

• 在满足正则性假设的一维最优控制问题子类中，该方法实现了 $\sqrt{\Delta t} + \Delta x / \Delta t$ 阶的误差估计。
• 该误差界与经典有限差分法和有限元法求解哈密顿-雅可比方程的收敛速率一致。
• 数值实验验证了该方法在适当选择测试函数时，能够准确逼近值函数。
• 若测试函数选择不当（例如在解缺乏足够拟凸性时仍使用二次元），将导致投影误差不收敛。
• 当使用Lipschitz有限元作为测试函数时，可显著提高在非光滑或非拟凸解问题中的近似精度。
• 通过 $T=1$ 和 $T=5$ 的数值例子验证，该方法能成功捕捉线性二次型和距离型控制问题中值函数的结构特征。