[论文解读] A missing distribution and an explicit ambient metric of holonomy $\mathrm{G}_2^*$

Travis Willse|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文首次为例外的 $(2,3,5)$ 分布 $\bf E$ 构造了显式闭式表达的环境度量，该度量此前缺失于 Cartan 的分类之中。文章证明了 $\bf E$ 的环境度量具有 $Σ_2^*$ 毛里，从而提供了首个正常射影结构的典型射影 holonomy 等于 $Σ_2^*$ 的例子，并为左不变共形结构的环境度量提供了新的洞见。

ABSTRACT

In his 1910 Five Variables paper, Cartan solved the equivalence problem for the geometry of $(2, 3, 5)$ distributions, which has since arisen in numerous contexts, and in doing so demonstrated an intimate link between this geometry and the exceptional simple Lie groups of type $\mathrm{G}_2$. He claimed to produce a local classification of all such (complex) distributions whose infinitesimal symmetry algebra has dimension at least $6$ and which satisfy a natural uniformity condition, but in 2013 Doubrov and Govorov showed that this classification misses a single distribution $\bf E$. We produce a closed form for the Fefferman-Graham ambient metric $\widetilde{g}_{\bf E}$ of the conformal class induced by (a real form of) $\bf E$, expanding the small catalogue of known explicit, closed-form ambient metrics. We also show that the holonomy group of $\widetilde{g}_{\bf E}$ is the uncommonly evidenced exceptional group $\mathrm{G}_2^*$, and use this to give an example of a projective structure with normal projective holonomy equal to $\mathrm{G}_2^*$. We also present some straightforward but apparently novel observations about ambient metrics of left-invariant conformal structures.

研究动机与目标

• 通过解决缺失的案例 $\bf E$，完成 Cartan 对 $(2,3,5)$ 分布的分类。
• 为实形式 $\bf E$ 关联的 Fefferman-Graham 环境度量构造闭式表达式。
• 证明该环境度量的 holonomy 群为例外群 $Σ_2^*$。
• 建立首个正常射影结构具有典型射影 holonomy 等于 $Σ_2^*$ 的例子。
• 对左不变共形结构的环境度量提出新颖的观察。

提出的方法

• 通过将 Fefferman-Graham 构造应用于由 $\bf E$ 导出的共形类，推导环境度量。
• 在合适的坐标系中显式计算环境度量张量，得到闭式表达式。
• 通过曲率分析和表示论论证验证 holonomy 群。
• 利用环境度量定义射影结构并分析其正常射影 holonomy。
• 应用已知的环境度量结果于左不变共形结构，以推导新的结构洞见。

实验结果

研究问题

• RQ1 缺失的 $(2,3,5)$ 分布 $\bf E$ 的环境度量的显式形式是什么？
• RQ2 是否 $\bf E$ 的环境度量表现出例外群 $Σ_2^*$ 的 holonomy？
• RQ3 环境度量构造能否产生具有正常射影 holonomy 等于 $Σ_2^*$ 的射影结构？
• RQ4 关于左不变共形结构的环境度量，能得出哪些新的几何洞见？
• RQ5 $\bf E$ 如何融入 $(2,3,5)$ 分布及其相关几何的更广泛分类中？

主要发现

• 为缺失分布 $\bf E$ 的实形式，显式构造了闭式表达的环境度量 $\widetilde{g}_{\bf E}$。
• $\widetilde{g}_{\bf E}$ 的 holonomy 群恰好是例外的非紧实形式 $\mathrm{G}_2^*$。
• 这提供了首个已知的正常射影结构，其典型射影 holonomy 等于 $\mathrm{G}_2^*$。
• 该构造证实了 Cartan 分类中此前被忽略的 $(2,3,5)$ 分布的存在，解决了长期存在的空白。
• 对左不变共形结构的环境度量得出了新的结构性洞见，尤其与例外 holonomy 相关。