[论文解读] A model for the quasi-static growth of a brittle fracture: existence and approximation results

Gianni Dal Maso, Rodica Toader|ArXiv.org|Jan 10, 2001

Contact Mechanics and Variational Inequalities被引用 9

一句话总结

本文基于Griffith能量准则，为二维线弹性材料中脆性裂纹的准静态、不可逆生长提供了一个严格的数学公式化。通过在每个时间步长下采用全局能量最小化的时间离散化方案，且新裂纹必须包含所有先前裂纹的约束，作者证明了总能量在时间上绝对连续，尽管体相和表面能量可能出现跳跃间断。

ABSTRACT

We give a precise mathematical formulation of a variational model for the irreversible quasi-static evolution of a brittle fracture proposed by G.A. Francfort and J.-J. Marigo, and based on Griffith's theory of crack growth. In the two-dimensional case we prove an existence result for the quasi-static evolution and show that the total energy is an absolutely continuous function of time, although we can not exclude that the bulk energy and the surface energy may present some jump discontinuities. This existence result is proved by a time discretization process, where at each step a global energy minimization is performed, with the constraint that the new crack contains all cracks formed at the previous time steps. This procedure provides an effective way to approximate the continuous time evolution.

研究动机与目标

• 基于Francfort和Marigo的变分模型，为准静态脆性裂纹生长提供精确的数学公式化。
• 在不可逆裂纹扩展条件下，建立二维空间中脆性裂纹准静态演化的存在性。
• 开发一种时间离散化方法，确保每一步均实现能量最小化，同时保持裂纹演化的历史。
• 证明总能量在时间上绝对连续，即使体相或表面能量可能具有跳跃。
• 证明使用连通裂纹（连续体）作为数学简化手段，可确保存在性证明中的收敛性。

提出的方法

• 将总能量表述为弹性能量（通过位移梯度的Dirichlet积分）与表面能量（裂纹集合的Hausdorff测度）之和，其中韧性参数固定。
• 在每个时间步长对所有包含先前所有裂纹的紧致连通裂纹集合进行全局能量最小化，以强制实现不可逆性。
• 采用时间离散化方案，边界数据在 $ H^1(Ω) $ 中绝对连续，确保外部载荷的平滑演化。
• 应用Deny-Lions空间及有界变差函数的性质，处理裂纹的非光滑性及最小化问题。
• 在裂纹尖端附近的小球内采用局部能量比较技术，推导能量最小性的必要条件。
• 建立能量关于局部区域裂纹长度的可微性，导出涉及应力强度因子与裂纹速度的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Francfort和Marigo的变分模型下，脆性裂纹的数学上定义良好的准静态演化是否存在？
• RQ2 具有历史依赖能量最小化的时序离散化方法是否能产生时间上连续的裂纹演化？
• RQ3 即使体相或表面能量分量可能出现跳跃，总能量是否在时间上绝对连续？
• RQ4 何种条件可确保裂纹生长与Griffith能量准则一致？
• RQ5 裂纹尖端的局部行为如何与能量平衡及应力强度因子相关联？

主要发现

• 证明了在二维反平面剪切问题中，对于线弹性、各向同性材料，脆性裂纹的准静态演化存在。
• 表明总能量在时间上绝对连续，尽管体相和表面能量分量可能出现跳跃间断。
• 具有每步全局最小化的时序离散化方法，可收敛于连续演化。
• 推导出裂纹尖端能量最小性的必要条件，涉及应力强度因子与裂纹速度，表达为 $ \bigl\{1 - \kappa^2\bigr\} \dot{\sigma} \geq 0 $。
• 该模型确保裂纹生长不可逆且与能量释放率一致，符合Griffith准则要求。
• 尽管缺乏力学动机，但使用连通裂纹（连续体）被证明是确保存在性证明收敛性的技术必要条件。