[论文解读] A Moderate Deviation Principle for 2-D Stochastic Navier-Stokes Equations Driven by Multiplicative Lévy Noises

Zhao Dong, Jie Xiong+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过弱收敛方法，为受乘性 Lévy 噪声驱动的二维随机 Navier-Stokes 方程建立了中等偏差原理（MDP）。证明了在特定标度下，解相对于确定性极限的归一化偏差满足大偏差原理，将 MDP 理论扩展至具有跳跃噪声的 SPDE。

ABSTRACT

In this paper, we establish a moderate deviation principle for two-dimensional stochastic Navier-Stokes equations driven by multiplicative $L\acute{e}vy$ noises. The weak convergence method introduced by Budhiraja, Dupuis and Ganguly in arXiv:1401.73v1 plays a key role.

研究动机与目标

• 研究二维随机 Navier-Stokes 方程在偏离确定性解的中等偏差下的渐近行为。
• 将中等偏差原理扩展至受乘性 Lévy 噪声驱动的随机偏微分方程，该噪声引入了跳跃间断。
• 在标度条件 $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ 下，为归一化偏差过程建立大偏差原理。
• 解决在具有随机扰动的流体动力学模型中，非高斯、跳跃型噪声带来的挑战。

提出的方法

• 采用 Budhiraja、Dupuis 和 Ganguly 提出的弱收敛方法，分析中等偏差原理。
• 在 $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ 的标度下，分析偏差过程 $Y^\varepsilon = (u^\varepsilon - u^0)/a(\varepsilon)$。
• 利用 Skorokhod 表示定理和紧致性论证，建立归一化过程的律的收敛性。
• 对偏差过程应用 Itô 公式，推导涉及补偿泊松随机测度 $\widetilde{N}^{\epsilon^{-1}}$ 的能量估计。
• 利用 Gronwall 不等式控制偏差过程的增长，并在给定标度下证明其以概率收敛于零。
• 依赖非线性算子 $B(u,v) = P_H((u\cdot\nabla)v)$ 和 Stokes 算子 $A$ 的结构，处理非线性和耗散项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标度 $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ 下，受乘性 Lévy 噪声扰动的二维随机 Navier-Stokes 方程是否满足中等偏差原理？
• RQ2 与 SPDE 中的扩散型（维纳型）噪声相比，跳跃型 Lévy 噪声如何影响中等偏差行为？
• RQ3 弱收敛方法能否被适配以处理随机 Navier-Stokes 方程中非高斯、跳跃扩散结构？
• RQ4 当 $\varepsilon \to 0$ 时，归一化偏差过程 $Y^\varepsilon = (u^\varepsilon - u^0)/a(\varepsilon)$ 的极限行为是什么？
• RQ5 偏差过程在概率上收敛于零是否足以在弱收敛意义下建立 MDP？

主要发现

• 本文在 $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ 的标度下，为受乘性 Lévy 噪声驱动的二维随机 Navier-Stokes 方程建立了中等偏差原理。
• 在给定标度下，归一化偏差过程 $Y^\varepsilon = (u^\varepsilon - u^0)/a(\varepsilon)$ 以概率收敛于零，证实了 MDP 框架的有效性。
• 证明依赖于弱收敛方法，并通过能量估计和 Gronwall 不等式建立了归一化过程律的紧致性。
• 通过补偿泊松随机测度 $\widetilde{N}^{\epsilon^{-1}}$ 考虑了跳跃分量，这对处理非高斯噪声至关重要。
• 收敛结果在子序列上 $\mathbb{P}^1$-几乎必然成立，且偏差过程在 $[0,T]$ 上的 $L^2$-范数趋于零。
• 关键估计 $\lim_{\varepsilon \to 0} \left[ \sup_{t \in [0,T]} |\overline{\widetilde{M}^\varepsilon}(t)|^2 + \int_0^T \|\overline{\widetilde{M}^\varepsilon}(s)\|^2 ds \right] = 0$ 通过 Gronwall 不等式和可积性界得到证明。