[论文解读] A modified lookdown construction for the Xi-Fleming-Viot process with mutation and populations with recurrent bottlenecks

Matthias Birkner, Jochen Blath+3 more|ArXiv.org|Aug 4, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用 81

一句话总结

本文提出了带有突变的 $ξ$-Fleming-Viot 过程的改进型 lookdown 构造，建立了与 $ξ$-共祖过程的路径耦合，并证明了粒子系统的收敛性。关键贡献在于通过交换粒子系统对 $ξ$-Fleming-Viot 过程进行了严格且显式的构造，以及基于 Hille-Yosida 定理的另一种半群构造，将 Donnelly 和 Kurtz 的框架扩展至具有一般 $ξ$-共祖过程、突变及反复瓶颈的场景。

ABSTRACT

Let $Λ$ be a finite measure on the unit interval. A $Λ$-Fleming-Viot process is a probability measure valued Markov process which is dual to a coalescent with multiple collisions ($Λ$-coalescent) in analogy to the duality known for the classical Fleming Viot process and Kingman's coalescent, where $Λ$ is the Dirac measure in 0. We explicitly construct a dual process of the coalescent with simultaneous multiple collisions ($Ξ$-coalescent) with mutation, the $Ξ$-Fleming-Viot process with mutation, and provide a representation based on the empirical measure of an exchangeable particle system along the lines of Donnelly and Kurtz (1999). We establish pathwise convergence of the approximating systems to the limiting $Ξ$-Fleming-Viot process with mutation. An alternative construction of the semigroup based on the Hille-Yosida theorem is provided and various types of duality of the processes are discussed. In the last part of the paper a population is considered which undergoes recurrent bottlenecks. In this scenario, non-trivial $Ξ$-Fleming-Viot processes naturally arise as limiting models.

研究动机与目标

• 将 Donnelly-Kurtz 的 lookdown 构造推广至带有突变的 $ξ$-Fleming-Viot 过程，其与允许多重同时合并的 $ξ$-共祖过程对偶。
• 通过交换粒子系统的经验测度，提供 $ξ$-Fleming-Viot 过程的路径构造。
• 建立近似粒子系统收敛至极限 $ξ$-Fleming-Viot 过程的收敛性。
• 基于 Hille-Yosida 定理开发一种替代的半群构造，并通过测试函数的积分推导出过程的生成元。
• 分析在经历反复瓶颈的种群中非平凡 $ξ$-Fleming-Viot 过程的出现机制。

提出的方法

• 通过一个交换粒子系统构造改进的 lookdown 过程，其中每个个体被赋予一个层级，并根据 $ξ$-测度选择父代来继承类型。
• 通过速率函数 $r_N(\mathbf{k})$ 定义动力学，其中 $m$ 个大小为 $k_1,\dots,k_m$ 的组同时进行类型更新。
• 证明交换粒子系统经验测度路径收敛至 $ξ$-Fleming-Viot 过程，收敛性在分布意义下成立，并沿子序列几乎必然成立。
• 通过耦合前进过程与祖先过程，建立 $ξ$-Fleming-Viot 过程与 $ξ$-共祖过程之间的路径耦合。
• 利用 Hille-Yosida 定理构造 $ξ$-Fleming-Viot 过程的半群，并通过与测试函数的积分推导其生成元。
• 分析参数 $\theta > 0$ 的 Pólya-Dirichlet 情况，表明 $ξ$-测度在 $\Delta_j$ 上的密度与 $\theta^j \zeta_1 \cdots \zeta_j (1 - \sum \zeta_i)^{\theta-1}$ 成正比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Donnelly-Kurtz 的 lookdown 构造推广，以包含共祖过程中的突变与多重同时合并？
• RQ2 在何种条件下，交换粒子系统经验测度路径收敛至极限 $ξ$-Fleming-Viot 过程？
• RQ3 在经历反复瓶颈的种群中，$ξ$-Fleming-Viot 过程如何自然地出现？
• RQ4 如何显式表示 $ξ$-Fleming-Viot 过程的生成元？其能否通过泛函分析方法构造？
• RQ5 在参数 $\theta > 0$ 的 Pólya-Dirichlet 共祖过程中，多重合并的速率为何？其与 Stirling 数及 Pochhammer 符号 $[\theta]_n$ 的关系如何？

主要发现

• 改进的 lookdown 构造成功将 Donnelly-Kurtz 框架推广至带有突变的 $ξ$-Fleming-Viot 过程，实现了与 $ξ$-共祖过程的路径耦合。
• 交换粒子系统经验测度路径收敛至 $ξ$-Fleming-Viot 过程，收敛性在分布意义下成立，并沿子序列几乎必然成立。
• 对于参数 $\theta > 0$ 的 Pólya-Dirichlet 共祖过程，合并速率由 $\lambda(k_1,\dots,k_j) = \frac{\theta^j}{[\theta]_k} \prod_{i=1}^j (k_i - 1)!$ 给出，其中 $[\theta]_k = \theta(\theta+1)\cdots(\theta+k-1)$。
• Pólya-Dirichlet 共祖过程的块计数过程 $D_t = |\Pi_t|$ 的转移速率满足 $g_{nk} = \frac{\theta^k}{[\theta]_n} s(n,k)$，其中 $s(n,k)$ 为第一类无符号 Stirling 数。
• 从 $n$ 个块合并至 $k < n$ 个块的总合并速率为 $g_n = 1 - \frac{\theta^n}{[\theta]_n}$，每步丢失的块数期望为 $\mathbb{E}[K_n] = \sum_{k=1}^n \frac{\theta^k}{[\theta]_n} s(n,k)$。
• Pólya-Dirichlet 共祖过程几乎必然保持无限，因为 $\sum_{n=2}^\infty \gamma_n^{-1} = \infty$，其中 $\gamma_n \leq n$，且 $\Xi(\Delta_f) = 0$，证实了有限频率结构的缺失。