[论文解读] A modular invariance property of multivariable trace functions for regular vertex operator algebras

Matthew Krauel, Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了正则顶点算子代数（VOA）模上多变量迹函数的 SL₂(ℤ)-不变性性质，将 Zhu 的单变量模不变性推广至高亏格情形。关键贡献在于证明这些多变量迹函数在全模群作用下协变变换，由此导出 Siegel theta 系列的反演公式，并表明任意具有正则对易子的单连通子 VOA 的所有单模均出现在环境 VOA 的某个单模中。

ABSTRACT

We prove an $ ext{SL}_2 (\mathbb{Z})$-invariance property of multivariable trace functions on modules for a regular VOA. Applying this result, we provide a proof of the inversion transformation formula for Siegel theta series. As another application, we show that if $V$ is a regular VOA containing a regular subVOA $U$ whose commutant $U^c$ is regular and satisfies $(U^c)^c =U$, then all simple $U$-modules appear in some simple $V$-module.

研究动机与目标

• 将 Zhu 对单变量迹函数的模不变性结果推广至正则 VOA 上的多变量迹函数。
• 建立在 Siegel 上半空间上，多变量迹函数在 SL₂(ℤ) 作用下的协变变换性质，推广椭圆模形式框架。
• 将此不变性应用于推导 Siegel theta 系列的反演公式，为数论中的经典结果提供新证明。
• 证明若一个单连通正则 VOA U 的对易子 Uᶜ 也是单连通正则且满足 (Uᶜ)ᶜ = U，则 U 的所有单模均出现在某个 V 的单模中。

提出的方法

• 通过 g 维 Jordan 子代数中的顶点算子和共形向量，在 Siegel 上半空间 H_g 上定义多变量迹函数。
• 以 Zhu 对单变量迹函数的模不变性结果为基础，作为推导多变量情形变换规律的工具。
• 为 V_L-模 M = V_{L+κ} 构造多变量迹函数 Tr_M(o(1):A)，表示为对格点向量的求和，其权重为含矩阵 A ∈ H_g 的指数项。
• 通过 A 的正交对角化，将迹函数表示为 Siegel theta 系列 γ_M(A) = ∑_{β∈L+κ} exp(πi tβ̃ A β̃)，其中 β̃ 为配对系数向量。
• 通过 Im(A) 的正定性证明 γ_M(A) 在 H_g 上的解析性，确保级数收敛。
• 应用 Verlinde 公式与模 S-矩阵，推导出反演变换规律：(−i/det(A))^{g/2} γ_W^j(−A⁻¹) = ∑_h s_jh γ_W^h(A)，其中 s_jh 为 S-矩阵元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则 VOA 上的多变量迹函数在 Siegel 上半空间上是否保持单变量迹函数的模不变性？
• RQ2 模 S-矩阵作用于迹函数能否用于推导 Siegel theta 系列的反演公式？
• RQ3 在何种条件下，子 VOA U 及其对易子 Uᶜ 使得 U 的所有单模均出现在某个正则 VOA V 的单模中？
• RQ4 H_g 上的多变量迹函数与经典 Siegel 模形式及 theta 系列有何关系？
• RQ5 多变量迹函数在高亏格下对全 SL₂(ℤ) 作用的精确变换规律为何？

主要发现

• 对任意正则格 VOA V_L 及其单模 M，多变量迹函数 Tr_M(o(1):A) 在 Siegel 上半空间 H_g 上解析。
• 函数 γ_M(A) = Tr_M(o(1):A) ∏_{i=1}^g η(μ_i) 是与格 L+κ 相关的经典 Siegel theta 系列。
• 函数 γ_W^j(A) 在 SL₂(ℤ) 作用下满足完整的模变换规律，反演公式为 (−i/det(A))^{g/2} γ_W^j(−A⁻¹) = ∑_h s_jh γ_W^h(A)，其中 s_jh 为 S-矩阵系数。
• 多变量迹函数的模不变性为 Siegel theta 系列反演公式提供了新证明。
• 若 U 是正则 VOA V 的单连通正则子 VOA，且其对易子 Uᶜ 满足 (Uᶜ)ᶜ = U，则 U 的所有单模均作为子模出现在某个 V 的单模中。
• 该构造证实 Zhu 理论中的 S-矩阵控制了多变量迹函数的变换，将模函子结构推广至高亏格情形。