[论文解读] A Morse-Bott approach to monopole Floer homology and the Triangulation conjecture

Francesco Lin|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文将单极 Floer 同调推广至 Seiberg-Witten 梯度流中的 Morse-Bott 奇点，特别针对其对偶共轭的 spin c 结构。它构造了一个类似于 Manolescu 不变量的 $̅{Pin}(2)$-等变变体，通过证明在同调球面中不存在 Rokhlin 不变量为一且在同调叉 bordism 群中阶为二的元素，从而为三角剖分猜想的否定提供了新证明。

ABSTRACT

In the present work we generalize the construction of monopole Floer homology due to Kronheimer and Mrowka to the case of a gradient flow with Morse-Bott singularities. Focusing then on the special case of a three-manifold equipped with a spin$^c$ structure isomorphic to its conjugate, we define the counterpart in this context of Manolescu's recent $\mathrm{Pin}(2)$-equivariant Seiberg-Witten-Floer homology. In particular, we provide an alternative approach to his disproof of the celebrated Triangulation conjecture.

研究动机与目标

• 将 Kronheimer 和 Mrowka 的单极 Floer 同调推广至 Seiberg-Witten 梯度流中具有 Morse-Bott 奇点的情形。
• 在 Morse-Bott 设置下，定义一个类似于 Manolescu 构造的 $̅{Pin}(2)$-等变 Seiberg-Witten-Floer 同调。
• 为五维及以上维度中三角剖分猜想的否定提供另一种证明。
• 为同调球面建立一个新的不变量 $β(Y)$，该不变量在同调叉 bordism 下不变，并模 2 后等于 Rokhlin 不变量。
• 证明在同调叉 bordism 群中不存在阶为二且 Rokhlin 不变量为一的元素，从而否定该猜想。

提出的方法

• 将单极 Floer 同调的构造推广，以包含具有 Morse-Bott 临界子流形的梯度流，其中法向方向的 Hessian 矩阵可逆。
• 在具有对称性的无限维配置空间上引入完备化与截断过程。
• 通过扰动方法解决奇点问题，并在柱面 $× Y$ 上定义临界子流形之间轨迹的模空间。
• 当 spin c 结构为自共轭时，利用额外的四元数对称性，构造一个 $̅{Pin}(2)$-等变同调理论。
• 将该理论应用于定义同调球面上的 $β(Y)$ 不变量，其满足 $β(-Y) = -β(Y)$，且模 2 后等于 Rokhlin 不变量。
• 分析在 $× Y$ 上受扰动的 Seiberg-Witten 方程的解的模空间，其渐近条件趋于临界子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将单极 Floer 同调推广至梯度流具有 Morse-Bott 奇点而非孤立非退化奇点的情形？
• RQ2 在 Morse-Bott 设置下，Seiberg-Witten-Floer 同调的适当 $̅{Pin}(2)$-等变类比是什么？
• RQ3 如何利用该理论重新证明 Manolescu 对三角剖分猜想的否定？
• RQ4 是否存在一个满足 $β(-Y) = -β(Y)$ 的 $β(Y)$ 不变量，是否意味着在同调叉 bordism 群中不存在阶为二且 Rokhlin 不变量为一的元素？
• RQ5 能否利用这一新不变量进一步约束同调叉 bordism 群的结构？

主要发现

• 本文在 Morse-Bott 设置下构造了 $̅{Pin}(2)$-等变 Seiberg-Witten-Floer 同调，将 Manolescu 的框架推广至非孤立临界点的情形。
• 它为同调球面定义了一个 $β(Y)$ 不变量，该不变量在同调叉 bordism 下不变，并满足 $β(-Y) = -β(Y)$。
• 该不变量模 2 后等于 Rokhlin 不变量，且其在方向反转下为奇数，意味着在同调叉 bordism 群中不可能存在阶为二且 Rokhlin 不变量为一的元素。
• 这表明短正合列 $0 \to \ker \mu \to \Theta_3^H \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$ 不可分裂，这等价于五维及以上维度中三角剖分猜想的失败。
• 该新构造提供了一个拓扑不变量，为同调叉 bordism 群的结构以及三角剖分障碍提供了新的视角。