[论文解读] A multilinear reverse Hölder inequality with applications to multilinear weighted norm inequalities

David Cruz-Uribe, Kabe Moen|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 7被引用 9

一句话总结

该论文建立了关于 $m$-元组 $A_\infty$ 权重的多重线性反 Hölder 不等式，证明了若每个权重 $w_i$ 满足指数为 $s_i$ 的反 Hölder 条件，且满足 $\sum 1/s_i = 1$，则其幂平均的乘积几乎处处被乘积 $\prod w_i$ 的平均值控制。该结果带来了两个关键应用：多重线性 $A_{\vec{p}}$ 权重的结构定理，以及多重线性 maximal 算子的两权范数不等式的新充分条件。

ABSTRACT

In this note we prove a multilinear version of the reverse Hölder inequality in the theory of Muckenhoupt $A_p$ weights. We give two applications of this inequality to the study of multilinear weighted norm inequalities. First, we prove a structure theorem for multilinear $A_{\vec{p}}$ weights; second, we give a new sufficient condition for multilinear, two-weight norm inequalities for the maximal operator.

研究动机与目标

• 将经典的反 Hölder 不等式推广到涉及 $m$-元组权重的多重线性情形。
• 为多重线性 maximal 算子的两权范数不等式建立一个充分条件。
• 利用多重线性反 Hölder 不等式，为多重线性 $A_{\vec{p}}$ 权重提供一个结构定理。
• 解决关于在权重满足 $A_\infty$ 假设下 $S_{\vec{p}}$ 测试条件的充分性问题的开放问题。

提出的方法

• 利用先前工作中关于 Muckenhoupt 权重的缩放性质，推导出多重线性反 Hölder 不等式。
• 对 $w_i^{s_i}$ 应用反 Hölder 不等式，利用 $w_i \in RH_{s_i}$ 蕴含 $w_i^{s_i} \in A_\infty$ 的事实。
• 使用满足 $\sum 1/s_i = 1$ 的多重线性 Hölder 不等式，控制平均值的乘积。
• 两次使用 $A_2$ 条件和 Hölder 不等式，将加权平均与乘积的几何平均联系起来。
• 通过变换 $w \mapsto w^s$，利用 $A_p$ 与 $RH_s$ 类之间的对偶关系。
• 利用该结果证明：当权重 $\sigma_i \in A_\infty$ 时，$S_{\vec{p}}$ 测试条件对两权不等式是充分的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将反 Hölder 不等式推广到满足 $\sum 1/s_i = 1$ 的多重线性权重？
• RQ2 在这些条件下，$m$-元组的 $A_{\vec{p}}$ 权重具有哪些结构性质？
• RQ3 当权重 $\sigma_i$ 属于 $A_\infty$ 时，$S_{\vec{p}}$ 测试条件是否对两权范数不等式是充分的？
• RQ4 多重线性反 Hölder 不等式是否蕴含多重线性 maximal 算子的两权范数不等式？

主要发现

• 多重线性反 Hölder 不等式成立：若 $w_i \in RH_{s_i}$ 且 $\sum 1/s_i = 1$，则有 $$ \prod_{i=1}^m \left( \mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-4.86108pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-3.25pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-2.29166pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-1.875pt}}\!\int_Q w_i^{s_i} \right)^{1/s_i} \leq C \mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-4.86108pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-3.25pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-2.29166pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-1.875pt}}\!\int_Q \prod_{i=1}^m w_i \, dx $$
• 若 $w \in A_p$ 且 $w^{1-p'} \in A_\infty$，则 $w \in A_p$，这是已知的 $A_p$ 特征刻画在多重线性情形下的推广。
• $S_{\vec{p}}$ 条件对两权范数不等式 $\|\mathcal{M}(\vec{f}\sigma)\|_{L^p(u)} \leq C \prod \|f_i\|_{L^{p_i}(\sigma_i)}$ 是充分的，当 $\sigma_i \in A_\infty$ 时。
• 多重线性反 Hölder 不等式表明，$\sigma_i \in A_\infty$ 确保了多重线性反 Hölder 条件 (1.5) 成立，而该条件足以保证两权不等式的成立。
• 该结果为两权不等式提供了新的充分条件，解决了在 $\sigma_i \in A_\infty$ 时多重线性情形下的一个开放问题。