[论文解读] A multiscale quasilinear system for colloids deposition in porous media: Weak solvability and numerical simulation of a near-clogging scenario

Michael Eden, Christos Nikolopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 45被引用 8

一句话总结

本文提出了一种多尺度拟线性系统，用于模拟多孔介质中胶体颗粒的扩散、聚集、破碎及沉积过程，其中介质的微观结构随时间演变。基于Schauder不动点定理的弱可解性框架，本文证明了该系统的解的存在性，并通过数值模拟展示了由于颗粒沉积导致的渐进堵塞现象，结果表明有效扩散系数随微观结构半径增大而减小。

ABSTRACT

We study the weak solvability of a quasilinear reaction-diffusion system nonlinearly coupled with an linear elliptic system posed in a domain with distributed microscopic balls in $2D$. The size of these balls are governed by an ODE with direct feedback on the overall problem. The system describes the diffusion, aggregation, fragmentation, and deposition of populations of colloidal particles of various sizes inside a porous media made of prescribed arrangement of balls. The mathematical analysis of the problem relies on a suitable application of Schauder's fixed point theorem which also provides a convergent algorithm for an iteration method to compute finite difference approximations of smooth solutions to our multiscale model. Numerical simulations illustrate the behavior of the local concentration of the colloidal populations close to clogging situations.

研究动机与目标

• 建立一个拟线性、双尺度系统，用于模拟多孔介质中胶体输运与微观结构演化的弱解存在性。
• 分析一个耦合系统，其中颗粒扩散与反应过程通过依赖于半径的有效扩散系数，非线性地耦合于演化的微观结构。
• 在具有分布圆形包含物的二维多孔介质中，模拟近似堵塞情景，其半径通过由颗粒沉积驱动的ODE演化。
• 基于不动点论证，提出一种收敛的有限差分格式，用于光滑解的数值逼近。
• 展示由胶体沉积驱动的微观结构变化如何导致扩散系数降低，并形成局部堵塞模式。

提出的方法

• 构建双尺度系统：一个用于胶体聚集体摩尔浓度（ui）的拟线性抛物型PDE，与一个描述微观结构包含物半径r的ODE相耦合。
• 通过周期性单元胞中的细胞问题建模有效扩散系数Di(r)，其中包含半径为r的圆形障碍物，以反映曲折度与渗透率的变化。
• 引入Robin型交换项，以描述胶体在微观结构上的可逆吸附/脱附过程，其通量与(aiui − βiv)成正比。
• 采用Smoluchowski方程描述不同尺寸胶体颗粒之间的聚集与破碎过程。
• 应用Schauder不动点定理，在孔隙率与半径非退化假设下，证明耦合系统的弱可解性。
• 实现一种双尺度有限差分格式用于数值模拟，其时间与空间离散化保持了多尺度结构特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于耦合胶体输运与多孔介质中演化微观结构的拟线性、多尺度系统，弱解是否存在？
• RQ2 有效扩散系数Di(r)如何依赖于微观结构包含物半径r的演化？
• RQ3 颗粒沉积对二维多孔介质中局部扩散系数与堵塞模式的数值影响是什么？
• RQ4 该系统能否捕捉从初始颗粒输运到因微观结构生长导致的渐进堵塞的转变过程？
• RQ5 初始微观结构半径的空间分布如何影响堵塞发展与扩散系数降低？

主要发现

• 在孔隙率与微观结构半径非退化假设下，所提出的多尺度拟线性系统存在弱解。
• 基于Schauder不动点定理的数值格式，可对光滑解实现收敛的有限差分逼近。
• 模拟结果表明，随着微观结构半径r增大，有效扩散系数降低，低扩散区域随时间逐渐扩展。
• 堵塞具有空间异质性：初始r较大的区域增长更快，导致低扩散系数与高颗粒浓度的局部区域形成。
• 在r较大的区域，有效扩散系数D(x,t)显著降低，等值线图显示其分布模式与r分布呈相反趋势。
• u1与v的浓度分布随时间呈现累积特征，其中u1在r较大且D较小的区域达到峰值，表明沉积驱动的堵塞现象。