[论文解读] A nearly tight upper bound on tri-colored sum-free sets in characteristic 2

Robert Kleinberg|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文利用Croot-Lev-Pach多项式方法的变体，建立了$∞$F_2^n$中三色和自由集大小的近乎紧致上界$6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$。此外，还给出了匹配的下界$∞{n}{\lfloor n/3\rfloor} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$，在特征2的设定下，将指数差距缩小至次指数因子。

ABSTRACT

A tri-colored sum-free set in an abelian group $H$ is a collection of ordered triples in $H^3$, $\{(a_i,b_i,c_i)\}_{i=1}^m$, such that the equation $a_i+b_j+c_k=0$ holds if and only if $i=j=k$. Using a variant of the lemma introduced by Croot, Lev, and Pach in their breakthrough work on arithmetic-progression-free sets, we prove that the size of any tri-colored sum-free set in $\mathbb{F}_2^n$ is bounded above by $6 {n \choose \lfloor n/3 floor}$. This upper bound is tight, up to a factor subexponential in $n$: there exist tri-colored sum-free sets in $\mathbb{F}_2^n$ of size greater than ${n \choose \lfloor n/3 floor} \cdot 2^{-\sqrt{16 n / 3}}$ for all sufficiently large $n$.

研究动机与目标

• 为$∞$F_2^n$中无三元等差数列的大集合，关闭上界与下界之间的指数差距。
• 将多项式方法推广至特征2下的三色和自由集，其中传统等差数列自由集的大小是平凡地大的。
• 为这类集合的大小提供近乎紧致的上界，其与已知下界仅相差次指数因子。
• 通过概率构造证明上界在次指数因子范围内是紧致的。

提出的方法

• 将Croot-Lev-Pach引理由$∞$F_2^n$中的完全匹配序列适配，通过目标集大小将其与三色和自由集关联。
• 使用次数$d = \lfloor n/3 \rfloor$的多项式空间$L_{n,d}$，以界定完全匹配序列的目标集大小。
• 对双变量多项式系数矩阵应用秩界，推导出上界$3 \dim L_{n,d} \leq 6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$。
• 通过在$({\mathbb{Z}}/M{\mathbb{Z}})^{n+1}$上使用随机线性形式$h_i(\cdot, w)$，构造三色和自由集$Z(w)$。
• 利用重叠事件的容斥原理，界定$Z(w)$的期望大小，减去$Y_0(w), Y_1(w), Y_2(w)$中重复计数的三元组。
• 选择$M = 4\binom{2n/3}{n/3} + 1$，并选取$∞$\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$中的大子集$B$，使其不包含三元等差数列，以确保$Z(w)$的期望大小较高。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三色和自由设定下，$∞$F_2^n$中无等差数列集合的上界与下界之间的指数差距能否被关闭？
• RQ2 能否使用多项式方法在$∞$F_2^n$中为三色和自由集获得近乎紧致的上界？
• RQ3 在特征2下，能否构造出与上界仅相差次指数因子的下界？
• RQ4 在多项式方法中，目标集大小与系数矩阵秩之间的最优权衡是什么？

主要发现

• $∞$F_2^n$中任意三色和自由集的大小至多为$6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$，该结果由多项式系数矩阵的秩界推导得出。
• 该上界近乎紧致，因为对所有充分大的$n$，存在大小大于$\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$的三色和自由集。
• $Z(w)$构造的三色和自由集的期望大小超过$\binom{n}{n/3} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$，与下界中的次指数因子完全匹配。
• 该构造依赖于随机线性形式$w$以及$∞$\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$中不包含三元等差数列的大子集$B$，以确保有效三元组的高概率。
• 上界在次指数因子范围内是紧致的，因为下界与上界基项的差距在$2^{-\sqrt{16n/3}}$以内。
• 该方法将Croot-Lev-Pach多项式方法扩展至三色构型，表明其在单集合无等差数列问题之外也具有适用性。