[论文解读] A New Automorphism Of X0(108)

Michael Harrison|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文更正了 Kenku 和 Momose 对模曲线 $X_0(108)$ 的自同构群分析中的错误，证明由上半平面矩阵作用诱导的自同构群 $B_0(108)$ 在完整自同构群 $A_0(108)$ 中的指数为 2。作者利用模形式与 Gröbner 基计算，在 $X_0(108)$ 的典范模型上显式构造了一个阶为 2 的新自同构，表明其定义在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})$ 上但不在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 上，从而解决了 $X_0(N)$ 的例外情形分类中长期存在的空白。

ABSTRACT

Let X0(N) denote the modular curve classifying elliptic curves with a cyclic N-isogeny, A0(N) its group of algebraic autmorphisms and B0(N) the subgroup of automorphisms coming from matrices acting on the upper halfplane. In a well-known paper, Kenku and Momose showed that A0(N) and B0(N) are equal (all automorphisms come from matrix action) when X0(N) has genus at least 2, except for N = 37 and 63. However, there is a mistake in their analysis of the N = 108 case. In the style of Kenku and Momose, we show that B0(108) is of index 2 in A0(108) and construct an explicit new automorphism of order 2 on a canonical model of X0(108).

研究动机与目标

• 更正 Kenku 和 Momose 对 $X_0(108)$ 的分析中的缺陷，他们错误地断言 $A_0(108) = B_0(108)$。
• 确立 $B_0(108)$ 在 $A_0(108)$ 中的指数为 2，从而解决 $N=108$ 在 $A_0(N) \neq B_0(N)$ 的例外 $N$ 分类中的情形。
• 在 $X_0(108)$ 上显式构造一个不通过上半平面矩阵作用诱导的、阶为 2 的自同构，且数学上清晰透明。
• 验证新自同构的定义域，并确认其严格位于 $k(108) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 之外，符合非平凡自同构的预期。

提出的方法

• 在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上使用 Magma 计算，观察到 $X_0(108)$ 在 $\mathbb{F}_{31}$ 上有 216 个自同构，是 $B_0(108)$ 大小的两倍，暗示其在 $A_0(108)$ 中的指数为 2。
• 重新分析 Kenku 和 Momose 对 $N=108$ 的论证，发现其错误在于假设非平凡自同构 $\gamma$ 必须在 $j$-不变为 0 的复乘椭圆曲线因子 $E$ 上作用为 $\pm 1$，而实际上它可能作用为单位根的三次根。
• 通过确定其在全纯微分空间上的作用，使用含两个待定参数 $a$ 和 $b$ 的矩阵，构造一个阶为 2 的候选自同构 $u$。
• 利用 $\mathbb{P}^9$ 中由 28 个二次关系定义的 $X_0(108)$ 的典范模型，将 $u$ 的矩阵作用代入关系式，得到关于 $a$ 和 $b$ 的零维理想。
• 在 Magma 中应用 Gröbner 基算法求解该方程组，得到 $b = z a^2$ 与 $a^3 = -1/2$，其中 $z = \sqrt{-3}$，$c^3 = 2$，从而导出显式自同构公式。
• 验证所构造的自同构 $u$ 在 $X_0(108)$ 上仅固定两个点，其在微分上的作用为 $-M$（而非 $M$），且将尖点映射为非尖点，确认其不属于 $B_0(108)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管 Kenku 和 Momose 声称相反，但有限域计算表明 $B_0(108)$ 在 $A_0(108)$ 中的指数为 2，这一结论是否成立？
• RQ2 能否在 $X_0(108)$ 上显式构造一个不通过上半平面矩阵作用诱导的阶为 2 的新自同构？
• RQ3 Kenku 和 Momose 的论证为何在 $N=108$ 时失效，特别是关于自同构在 $j$-不变为 0 的复乘椭圆曲线因子上的作用？
• RQ4 新自同构的定义域为何？其是否严格位于 $k(108) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 之外？
• RQ5 新自同构是否保持 $X_0(108)$ 的典范模型，并在尖点集上非平凡地作用？

主要发现

• 群 $B_0(108)$ 在 $A_0(108)$ 中的指数为 2，更正了 Kenku 和 Momose 对 $N=108$ 分析中的错误。
• 在 $X_0(108)$ 的典范模型上显式构造了一个阶为 2 的自同构 $u$，其定义域为 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})$，但不在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 上。
• 自同构 $u$ 在 $X_0(108)$ 的微分上作用为 $-M$，其中 $M$ 是特征值分别为 $\pm 1$（重数分别为 6 和 4）的矩阵。
• 商曲线 $Y = X_0(108)/\langle u \rangle$ 的亏格为 4，与 Hurwitz 公式一致，且 $u$ 恰好有两个不动点。
• 自同构 $u$ 将尖点集映射到不相交的点集，确认其不属于 $B_0(108)$，符合 Kenku 和 Momose（1985）推论 2.4 的要求。
• 在 $\mathbb{P}^9$ 中，$X_0(108)$ 的典范模型由 28 个二次关系定义，新自同构以坐标 $x_1, \dots, x_{10}$ 上的作用显式给出。