[论文解读] A New Bound in the Littlewood–Offord Problem

Friedrich Götze|arXiv (Cornell University)|May 19, 2022

Random Matrices and Applications参考文献 25被引用 1

一句话总结

本文通过将独立同分布随机变量加权和的集中函数与具有在 ± 权重上支撑的谱测度的对称无限可分分布的集中函数联系起来，建立了 Littlewood–Offord 问题的新界。利用 Jensen 不等式和特征函数估计，推导出一个一般不等式（定理 1），将问题简化为分析此类分布的集中函数，从而在某些条件下（特别是谱测度集中在 ± 权重上时）获得了比先前结果更紧的界。

ABSTRACT

The paper deals with studying a connection of the Littlewood–Offord problem with estimating the concentration functions of some symmetric infinitely divisible distributions. It is shown that the concentration function of a weighted sum of independent identically distributed random variables is estimated in terms of the concentration function of a symmetric infinitely divisible distribution whose spectral measure is concentrated on the set of plus-minus weights.

研究动机与目标

• 扩展并改进 Littlewood–Offord 问题中集中函数现有边界的范围。
• 建立独立同分布随机变量加权和的集中函数与在 ± 权重上支撑谱测度的对称无限可分分布的集中函数之间的联系。
• 通过在估计的最后一步引入 Jensen 不等式，改进先前结果，从而获得更强的界。
• 提供一个框架，以实现对随机矩阵奇异概率的更精确估计。

提出的方法

• 引入一族参数化于 $ z \in \mathbb{R} $ 的对称无限可分分布 $ H_z $，其特征函数为 $ \widehat{H}_z(t) = \exp\left( -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left(1 - \cos(\langle t, a_k \rangle z) \right) \right) $。
• 将 Esséen 不等式的多变量推广应用于特征函数，将集中函数与特征函数在球上的积分联系起来。
• 利用 $ H_z $ 的特征函数的对称性与非负性，通过关系式 (6) 推导出下界，从而实现精确估计。
• 将 Jensen 不等式应用于特征函数的加权积分，取代先前工作中使用的不等式 (2)。
• 通过在 $ z \in \mathbb{R} $ 上对测度 $ W $ 的积分 $ Q(H_1^\lambda, \tau |z|^{-1}) $，对 $ Q(F_a, \tau) $ 进行有界，从而推导出定理 1，其中 $ \lambda = V(\mathbb{R}) $，$ V \leq G $，且 $ G = \mathcal{L}(X_1 - X_2) $。
• 通过选择特定测度 $ V $，推导出推论 1 和推论 2，其中当 $ \lambda \gg_d 1 $ 时，推论 2 提供了更强的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 独立同分布随机变量加权和的集中函数能否以在 ± 权重上支撑谱测度的对称无限可分分布的集中函数来界定？
• RQ2 与依赖于不等式 (2) 的先前方法相比，Jensen 不等式的使用如何改进 Littlewood–Offord 问题中的现有边界？
• RQ3 在何种条件下，推论 2 中的边界会严格强于推论 1 中的边界？
• RQ4 该框架在多大程度上能改进对随机矩阵奇异概率的现有估计？

主要发现

• 定理 1 建立了一般界：$ Q(F_a, \tau) \ll_d \int_{\mathbb{R}} Q(H_1^\lambda, \tau |z|^{-1}) \, W(dz) $，其中 $ \lambda = V(\mathbb{R}) $，$ V \leq G $，且 $ W = \lambda^{-1} V $，将加权和的集中性与一个无限可分分布的集中性联系起来。
• 推论 1 表明 $ Q(F_a, \tau) \ll_d Q(H_1^{p(\tau/\varepsilon)}, \varepsilon) $，其中 $ p(\delta) = G(\{ z : |z| > \delta \}) $，提供了基于对称增量尾部概率的边界。
• 推论 2 通过表明 $ Q(F_a, \tau) \ll_d \lambda^{-1} Q(H_1^\lambda, \varepsilon) $，其中 $ \lambda = \int_{\mathbb{R}} \left(1 + \lfloor \tau(\varepsilon |z|)^{-1} \rfloor \right)^{-d} G(dz) $，改进了推论 1，当 $ \lambda \gg_d 1 $ 时该边界更强。
• 推论 2 的边界强于推论 1，因为 $ \lambda \geq p(\tau/\varepsilon) $，且因子 $ \lambda^{-1} $ 降低了有效集中函数。
• 该证明技术通过将 Jensen 不等式应用于特征函数的加权积分，提供了比先前工作中使用不等式 (2) 更精细的分析。
• 结果表明，$ F_a $ 的大集中性意味着集合 $ \{ \pm a_k \}_{k=1}^n $ 具有简单的算术结构，这与 Littlewood–Offord 问题中的逆原理一致。