[论文解读] A new characterization of $P_k$-free graphs

Eglantine Camby, Oliver Schaudt|Kölner Universitäts PublikationsServer (Universität zu Köln)|Feb 28, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过证明每个连通的 $P_k$-free 图（$k \geq 4$）都存在一个最小连通支配集，其导出子图要么是 $P_{k-2}$-free，要么同构于 $P_{k-2}$，提出了对 $P_k$-free 图的新结构表征。该结果给出了一个构造性算法以计算此类集合，并导出 $P_k$-free 图的新等价表征，解决了 $k=7$ 时的一个开放问题，且使得 $P_7$-free 二分超图的 2-可着色性问题可在多项式时间内求解。

ABSTRACT

The class of graphs that do not contain an induced path on $k$ vertices, $P_k$-free graphs, plays a prominent role in algorithmic graph theory. This motivates the search for special structural properties of $P_k$-free graphs, including alternative characterizations. Let $G$ be a connected $P_k$-free graph, $k \ge 4$. We show that $G$ admits a connected dominating set whose induced subgraph is either $P_{k-2}$-free, or isomorphic to $P_{k-2}$. Surprisingly, it turns out that every minimum connected dominating set of $G$ has this property. This yields a new characterization for $P_k$-free graphs: a graph $G$ is $P_k$-free if and only if each connected induced subgraph of $G$ has a connected dominating set whose induced subgraph is either $P_{k-2}$-free, or isomorphic to $C_k$. This improves and generalizes several previous results; the particular case of $k=7$ solves a problem posed by van 't Hof and Paulusma [A new characterization of $P_6$-free graphs, COCOON 2008]. In the second part of the paper, we present an efficient algorithm that, given a connected graph $G$ on $n$ vertices and $m$ edges, computes a connected dominating set $X$ of $G$ with the following property: for the minimum $k$ such that $G$ is $P_k$-free, the subgraph induced by $X$ is $P_{k-2}$-free or isomorphic to $P_{k-2}$. As an application our results, we prove that Hypergraph 2-Colorability, an NP-complete problem in general, can be solved in polynomial time for hypergraphs whose vertex-hyperedge incidence graph is $P_7$-free.

研究动机与目标

• 通过分析最小连通支配集的导出子图，为 $k \geq 4$ 的 $P_k$-free 图提供新的结构表征。
• 解决 van ’t Hof 与 Paulusma 提出的关于 $P_7$-free 圖更紧致表征的开放问题。
• 设计一种高效算法，用于在 $P_k$-free 圖中计算一个连通支配集 $X$，使得 $G[X]$ 为 $P_{k-2}$-free 或同构于 $P_{k-2}$。
• 通过利用其最小连通支配集的结构特性，扩展已知的 $P_k$-free 圖上的算法结果。
• 通过证明 $P_7$-free 二分超图的 2-可着色性问题在多项式时间内可解，展示新表征的适用性。

提出的方法

• 通过图论的结构分析，证明在任意连通的 $P_k$-free 圖（$k \geq 4$）中，每个最小连通支配集的导出子图要么是 $P_{k-2}$-free，要么同构于 $P_{k-2}$。
• 利用最小连通支配集的性质，推导出一个新等价表征：图 $G$ 是 $P_k$-free 当且仅当 $G$ 的每个连通导出子图都存在一个连通支配集 $X$，使得 $G[X]$ 是 $P_{k-2}$-free 或同构于 $C_k$。
• 设计一个构造性算法，给定一个连通的 $P_k$-free 圖，可在多项式时间内计算出一个连通支配集 $X$，使得 $G[X]$ 为 $P_{k-2}$-free 或 $G[X] \cong P_{k-2}$。
• 通过证明若顶点-超边关联图是 $P_7$-free，则 2-着色问题可在多项式时间内判定，将该表征应用于超图 2-可着色性问题。
• 使用反证法和对诱导路径及邻域的结构分析，建立在特定 2-着色假设下，关联图中不存在 $P_7$ 的命题。
• 利用已知的关于 $P_6$-free 和 $P_5$-free 圖的结果（如 3-着色和 $k$-着色的多项式时间可解性），推测该方法可推广至 $P_6$-free 圖及 4-着色问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $P_k$-free 圖的表征进一步收紧，使得连通支配集的导出子图为 $P_{k-2}$-free 或同构于 $P_{k-2}$，而非仅具有完全二分生成子图？
• RQ2 每个最小连通支配集在 $P_k$-free 圖（$k \geq 4$）中是否都诱导出一个 $P_{k-2}$-free 或同构于 $P_{k-2}$ 的子图？
• RQ3 能否将 $P_6$-free 圖的表征方法扩展至 $P_7$-free 圖，从而为这类图上的 NP-难问题提供多项式时间算法？
• RQ4 基于新结构表征，$P_7$-free 顶点-超边关联图的超图 2-可着色性是否为多项式时间可解？
• RQ5 新表征能否用于将已知的 $P_5$-free 和 $P_6$-free 圖的多项式时间结果推广至 $P_6$-free 圖，特别是对 4-着色性问题？

主要发现

• 每个连通的 $P_k$-free 圖（$k \geq 4$）都存在一个最小连通支配集，其导出子图要么是 $P_{k-2}$-free，要么同构于 $P_{k-2}$，这一结构性质对所有此类最小集合均成立。
• 建立了一个新等价表征：图 $G$ 是 $P_k$-free 当且仅当 $G$ 的每个连通导出子图都存在一个连通支配集 $X$，使得 $G[X]$ 是 $P_{k-2}$-free 或 $G[X] \cong C_k$，该结果推广了对 $k=5$ 和 $k=6$ 的先前结果。
• 提供了一种高效多项式时间算法，用于在 $P_k$-free 圖中计算一个连通支配集 $X$，使得 $G[X]$ 为 $P_{k-2}$-free 或 $G[X] \cong P_{k-2}$，其中 $k$ 是使得 $G$ 为 $P_k$-free 的最小值。
• 作为新表征的直接应用，证明了当超图的顶点-超边关联图是 $P_7$-free 时，其 2-可着色性问题可在多项式时间内求解。
• 对 $k=7$ 的结果解决了 van ’t Hof 与 Paulusma 提出的关于 $P_7$-free 圖更紧致表征的开放问题。
• 最小连通支配集在 $P_k$-free 圖中诱导出 $P_{k-2}$-free 或同构于 $P_{k-2}$ 子图的结构洞见，为将算法结果推广至 $P_6$-free 和 $P_7$-free 圖提供了基础，包括 4-着色性问题的潜在多项式时间解法。