[论文解读] A new class of hyper-bent Boolean functions in binomial forms

Chunming Tang, Yanfeng Qi+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用 24

一句话总结

本文提出了一类新的超 bent 布尔函数，定义在 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上，形式为 $f_{a,b} = \mathrm{Tr}_1^n(ax^{2^m-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^n-1)/5})$，其中 $n=2m$，$m \equiv 2 \pmod{4}$，$a \in \mathbb{F}_{2^m}$，$b \in \mathbb{F}_{16}$。通过使用 Kloosterman 和以及 $x^5 + x + a^{-1}$ 的因式分解，本文刻画了当 $a \in \mathbb{F}_{2^m}$ 时的超 bent 性质，并利用广义 Ramanujan-Nagell 方程证明：此类函数仅在 $n=12$ 或 $n=28$ 时为超 bent，且给出了这两种情况下的显式构造。

ABSTRACT

Bent functions, which are maximally nonlinear Boolean functions with even numbers of variables and whose Hamming distance to the set of all affine functions equals $2^{n-1}\pm 2^{\frac{n}{2}-1}$, were introduced by Rothaus in 1976 when he considered problems in combinatorics. Bent functions have been extensively studied due to their applications in cryptography, such as S-box, block cipher and stream cipher. Further, they have been applied to coding theory, spread spectrum and combinatorial design. Hyper-bent functions, as a special class of bent functions, were introduced by Youssef and Gong in 2001, which have stronger properties and rarer elements. Many research focus on the construction of bent and hyper-bent functions. In this paper, we consider functions defined over $\mathbb{F}_{2^n}$ by $f_{a,b}:=\mathrm{Tr}_{1}^{n}(ax^{(2^m-1)})+\mathrm{Tr}_{1}^{4}(bx^{\frac{2^n-1}{5}})$, where $n=2m$, $m\equiv 2\pmod 4$, $a\in \mathbb{F}_{2^m}$ and $b\in\mathbb{F}_{16}$. When $a\in \mathbb{F}_{2^m}$ and $(b+1)(b^4+b+1)=0$, with the help of Kloosterman sums and the factorization of $x^5+x+a^{-1}$, we present a characterization of hyper-bentness of $f_{a,b}$. Further, we use generalized Ramanujan-Nagell equations to characterize hyper-bent functions of $f_{a,b}$ in the case $a\in\mathbb{F}_{2^{\frac{m}{2}}}$.

研究动机与目标

• 刻画形式为 $f_{a,b} = \mathrm{Tr}_1^n(ax^{2^m-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^n-1)/5})$ 的布尔函数在 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上的超 bent 性质，其中 $n=2m$，$m \equiv 2 \pmod{4}$。
• 通过分析其 Walsh-Hadamard 谱，确定此类函数实现最强非线性性质——超 bent 性的条件。
• 通过利用 Kloosterman 和与有限域上五次多项式的因式分解等代数工具，扩展已知的超 bent 函数类。
• 通过广义 Ramanujan-Nagell 方程解决 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$ 时的超 bent 性条件，识别出超 bent 性仅在极少数情况下出现。

提出的方法

• 本文使用 Walsh-Hadamard 变换分析 $f_{a,b}$ 的谱性质，重点关注超 bent 性的条件 $\Lambda(a,b) = 1$。
• 通过应用 Kloosterman 和 $K_m(a)$ 与迹函数 $\mathrm{Tr}_1^4$，推导出表达式 $\Lambda(a,b) = -\frac{1}{5}[3(1 - K_m(a)) + Q_m(a)]$，将超 bent 性与这些代数不变量联系起来。
• 利用 $x^5 + x + a^{-1}$ 在 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的因式分解，对 $f_{a,b}$ 的结构进行分类，并确定 $a$ 与 $b$ 在超 bent 性下的条件。
• 当 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$ 时，问题转化为求解广义 Ramanujan-Nagell 方程 $15x^2 + 1 = 2 \cdot 2^k$ 与 $3x^2 + 5 = 4 \cdot 2^k$，这些方程对可能的解施加了约束。
• 本文通过计算验证与数论分析，识别出仅当 $n=12$ 与 $n=28$ 时满足给定约束条件的解。
• 推导出超 bent 性的显式必要与充分条件：当 $n=12$ 时，$(a+1)(a^3 + a^2 + 1) = 0$；当 $n=28$ 时，$(a+1)(a^7 + \cdots + 1) = 0$，且 $b = \beta^i$，$i=1,2,3,4$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n=2m$，$m \equiv 2 \pmod{4}$，$a \in \mathbb{F}_{2^m}$，$b \in \mathbb{F}_{16}$ 的条件下，布尔函数 $f_{a,b} = \mathrm{Tr}_1^n(ax^{2^m-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^n-1)/5})$ 在何种条件下为超 bent？
• RQ2 Kloosterman 和与 $x^5 + x + a^{-1}$ 的因式分解如何决定当 $a \in \mathbb{F}_{2^m}$ 时 $f_{a,b}$ 的超 bent 性？
• RQ3 当 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$ 时，$f_{a,b}$ 为超 bent 的 $n$ 值有哪些？其 $a$ 与 $b$ 的精确代数条件是什么？
• RQ4 广义 Ramanujan-Nagell 方程能否完全刻画该类中的超 bent 函数？若能，解存在的 $n$ 值有哪些？
• RQ5 是否存在有限多个 $n$ 使得此类二项式超 bent 函数存在？能否对其进行完全分类？

主要发现

• 函数 $f_{a,b}$ 为超 bent 当且仅当 $\Lambda(a,b) = 1$，这等价于方程 $3(1 - K_m(a)) + Q_m(a) = -5$，其中 $K_m(a)$ 为 Kloosterman 和，$Q_m(a)$ 为与迹相关的和。
• 当 $a \in \mathbb{F}_{2^m}$ 时，超 bent 性由 $x^5 + x + a^{-1}$ 的因式分解与 $K_m(a)$ 的值决定，且仅当 $K_m(a) = 4$，$-4$，或 $-12$ 时存在解，对应特定的 $a$ 值。
• 当 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$ 时，函数 $f_{a,b}$ 仅在 $n=12$ 与 $n=28$ 时为超 bent，这是通过求解广义 Ramanujan-Nagell 方程得出的结论。
• 当 $n=12$ 时，所有超 bent 函数的形式为 $\mathrm{Tr}_1^{12}(ax^{2^6-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^{12}-1)/5})$，其中 $(a+1)(a^3 + a^2 + 1) = 0$ 且 $b = \beta^i$，$i=1,2,3,4$，$ \beta$ 为 $\mathbb{F}_{16}$ 中的本原元。
• 当 $n=28$ 时，所有超 bent 函数的形式为 $\mathrm{Tr}_1^{28}(ax^{2^{14}-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^{28}-1)/5})$，其中 $(a+1)(a^7 + \cdots + 1) = 0$ 且 $b = \beta^i$，$i=1,2,3,4$，满足相同的 $b$ 条件。
• 本文证明：当 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$ 时，除 $n=12$ 与 $n=28$ 外，不存在此类超 bent 函数，从而解决了超 bent 函数分类中的一个关键开放问题。