[论文解读] A new class of non-identifiable skew symmetric tensors

Davide Vanzo, Alessandra Bernardi|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文证明了格拉斯曼流形 $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)) \subset \mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^{10})$ 的五阶弦切面簇的通用元素恰好有两种分解方式，表示为五个可分解的斜对称张量之和，使其成为 $n < 14$ 时非退化弦切面簇中唯一非可识别的情形。该结果通过代数几何技术（包括接触簇与切向弱退化簇）推导得出，并在三胞胎全同费米子量子纠缠的物理框架下具有解释意义。

ABSTRACT

We prove that the generic element of the fifth secant variety $σ_5(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^9)) \subset \mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^{10})$ of the Grassmannian of planes of $\mathbb{P}^9$ has exactly two decompositions as a sum of five projective classes of decomposable skew-symmetric tensors. {We show that this, {together with $Gr(\mathbb{P}^3, \mathbb{P}^8)$, is the only non-identifiable case} among the non-defective secant varieties $σ_s(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ for any $n&lt;14$. In the same range for $n$, we classify all the weakly defective and all tangentially weakly defective secant varieties of any Grassmannians.} We also show that the dual variety $(σ_3(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7)))^{\vee}$ of the variety of 3-secant planes of the Grassmannian of $\mathbb{P}^2\subset \mathbb{P}^7$ is $σ_2(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7))$ the variety of bi-secant lines of the same Grassmannian. The proof of this last fact has a very interesting physical interpretation in terms of measurement of the entanglement of a system of 3 identical fermions, the state of each of them belonging to a 8-th dimensional "Hilbert" space.

研究动机与目标

• 对 $n < 14$ 的格拉斯曼流形 $Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n)$ 的非可识别弦切面簇进行分类，特别关注非退化情形。
• 确定弦切面簇 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ 的通用元素在分解为可分解斜对称张量之和时是否唯一或存在多重分解。
• 对同一范围内格拉斯曼流形的弱退化与切向弱退化弦切面簇进行表征。
• 通过建立 $ (\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee $ 与 $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ 之间的几何-物理对偶性，揭示其在量子纠缠中的意义。

提出的方法

• 应用特拉琴尼引理计算弦切面簇的维数并检测退化性。
• 使用 Macaulay2 计算接触簇与切向接触簇，以分析可识别性与弱退化性。
• 将 $r$ 阶弦切面次数用作衡量 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ 中通用张量分解方式数量的指标。
• 通过 $r$ 阶切向接触簇具有正维数来识别非可识别情形。
• 在 $SL(8)$ 作用下对 $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 中轨道闭包的几何分析，将其与量子纠缠类关联。
• 利用普吕克嵌入将格拉斯曼流形实现为射影空间的子簇，从而支持弦切面簇的研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 $n < 14$ 时非退化的格拉斯曼流形 $Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n)$ 的弦切面簇是非可识别的？
• RQ2 $Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)$ 在 $r=5$ 时的 $5$ 阶切向接触簇的维数是多少？其与可识别性的关系如何？
• RQ3 为何 $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9))$ 是 $n < 14$ 时非退化弦切面簇中唯一非可识别的情形？
• RQ4 $ (\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee $ 与 $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ 之间有何关系？
• RQ5 在 $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 中轨道闭包的包含图在三胞胎全同费米子纠缠中的物理意义是什么？

主要发现

• 通用元素 $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9))$ 恰好有两种分解方式，表示为五个可分解斜对称张量之和，因此是非可识别的。
• 这是 $n < 14$ 时非退化弦切面簇 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ 中唯一非可识别的情形，除 $\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ 外。
• $Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)$ 的 $5$ 阶切向接触簇维数为 1，确认了其非可识别性。
• $ (\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee $ 等于 $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$，建立了几何对偶性。
• $Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)$ 的 $3$ 阶切向接触簇由三个 $\mathbb{P}^3$ 和一个 $\mathbb{P}^5$ 的并构成，表明其为切向弱退化。
• 物理解释将 $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 中轨道闭包的分层结构与三胞胎全同费米子的纠缠类联系起来，图中层级越高，纠缠程度越高。