[论文解读] A New Discretization of Classical and Quantum General Relativity

Ola Boström, Miller, M.+1 more|ArXiv.org|Apr 5, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于Ashtekar变量中Capovilla-Dell-Jacobson作用量的广义相对论经典与量子理论的新型离散形式化方法，类似于Regge演算但将曲率局部化在低维单纯形上。该研究同时构建了拉格朗日和哈密顿框架，发现离散微分同胚与哈密顿约束不满足对易性，表明在量子 regime 中存在非平凡的代数结构。

ABSTRACT

We propose a new discrete approximation to the Einstein equations, based on the Capovilla-Dell-Jacobson form of the action for the Ashtekar variables. This formulation is analogous to the Regge calculus in that the curvature has support on sets of measure zero. Both a Lagrangian and Hamiltonian formulation are proposed and we report partial results about the constraint algebra of the Hamiltonian formulation. We find that the discrete versions of the diffeomorphism constraints do not commute with each other or with the Hamiltonian constraint.

研究动机与目标

• 开发一种广义相对论的离散近似，以保持连续理论中的关键几何与动力学特征。
• 通过基于Capovilla-Dell-Jacobson作用量的新离散化方法，将Regge演算框架扩展至Ashtekar形式。
• 在离散时空复形上构建一致的拉格朗日与哈密顿形式。
• 研究离散哈密顿形式中约束的代数结构，特别是其对易性。
• 通过在有限维设置下分析约束代数，为离散量子引力理论奠定基础。

提出的方法

• 离散化基于Ashtekar变量中Einstein-Hilbert作用量的Capovilla-Dell-Jacobson形式，该形式将引力重新表述为规范场论。
• 曲率被局部化在测度为零的集合上，类似于Regge演算，但适配于Ashtekar形式中的旋结线与三重标架变量。
• 通过在分段线性时空复形上积分作用量，构建离散拉格朗日量，其中曲率支持于铰链（2-单纯形）。
• 通过离散作用量的正则分解推导哈密顿形式，识别出共轭对与约束。
• 通过计算离散微分同胚约束与哈密顿约束之间的泊松括号，分析约束代数。
• 更正了原始版本中的计算错误，并就约束的非对易性得出了修正后的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持广义相对论几何结构的方式，对Capovilla-Dell-Jacobson作用量进行离散化？
• RQ2 离散哈密顿形式中约束代数的结构是什么？
• RQ3 离散微分同胚约束是否彼此对易，且与哈密顿约束对易？
• RQ4 能否基于此离散框架构建一致的正则量子化？
• RQ5 约束非对易性对引力量子理论有何影响？

主要发现

• 离散微分同胚约束彼此不对易，表明离散规范代数中存在非阿贝尔结构。
• 离散微分同胚约束与哈密顿约束不对易，暗示约束代数具有非平凡结构。
• 哈密顿约束在与微分同胚约束的泊松括号下不封闭，意味着标准约束代数结构遭到破坏。
• 结果与离散理论捕捉量子引力非微扰特征的预期一致。
• 论文修订版更正了早期计算错误，强化了关于约束代数的结论。
• 该框架为利用离散时空结构实现引力正则量子化提供了新路径。