[论文解读] A New Family of Surfaces with K^2=7 and p_g=0

Yifan Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过度数为1的弱Del Pezzo曲面的$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$-覆叠，构造了一类新的光滑极小一般型曲面，满足$K^2 = 7$且$p_g = 0$。其典范除子为非常 ample，双 canonical 映射为双有理映射（不构成任何对合的复合），且曲面满足 Bloch 的猜想，从而与已知的 Inoue 曲面相区别。

ABSTRACT

We construct a new family of minimal smooth surfaces of general type with K^2=7 and p_g= 0. We show that for a surface in this family, its canonical divisor is ample and its bicanonical morphism is birational. We prove that these surfaces satisfy Bloch's conjecture.

研究动机与目标

• 构造一类新的极小一般型曲面，满足$K^2 = 7$且$p_g = 0$，填补此类曲面分类中的空白。
• 将新曲面族与已知的 Inoue 曲面区分开来，后者具有度为2的双 canonical 映射，且为对合的复合。
• 通过反证法并利用 [K27II] 的结果，证明新曲面的双 canonical 映射为双有理映射。
• 通过 [BlochInoue] 的近期结果，验证曲面满足 Bloch 的猜想。
• 实现对合商曲面在 Kodaira 维数为$-\infty$、$0$ 和 $1$ 时的新数值可能性。

提出的方法

• 将$\mathbb{P}^2$在八个点处进行爆破，构造度数为1的弱Del Pezzo曲面，包括点$p_0, p_1, p_2, p_3$及其无穷远邻点，且一般第八点$p$避开某些曲线。
• 在弱Del Pezzo曲面上定义三个除子$D_1, D_2, D_3$，用于构造双双覆盖。
• 对四节点三次曲面的最小解析模型应用正规化程序，得到新除子类$\tilde{D}_1, \tilde{D}_2, \tilde{D}_3$。
• 利用正规化后的除子构造双双覆盖$\tilde{\pi}: \widetilde{S} \to \widetilde{Y}$，确保该覆叠为有限且平坦。
• 通过反证法，利用 [K27II] 中双 canonical 映射的分类，证明所得曲面$S$的双 canonical 映射为双有理映射。
• 利用 [BlochInoue] 的结果，验证$S$满足 Bloch 的猜想，即$H^2(S, \mathcal{O}_S) = 0$蕴含零维代数的 Chow 群平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一类新的极小曲面族，满足$K^2 = 7$且$p_g = 0$，且与已知的 Inoue 曲面不同？
• RQ2 此类曲面的双 canonical 映射是否仍为双有理映射，抑或如 Inoue 曲面一样，为对合的复合？
• RQ3 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$的三个对合作用下，曲面的商曲面的 Kodaira 维数分别为多少？
• RQ4 鉴于其不变量与几何结构，这些曲面是否满足 Bloch 的猜想？
• RQ5 通过度数为1的弱Del Pezzo曲面的$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$-覆叠构造，能否得到与 Inoue 曲面不等价的新例子？

主要发现

• 所构造的曲面构成一类新的极小一般型曲面族，满足$K^2 = 7$且$p_g = 0$，与 Inoue 曲面不同。
• 该族中每个曲面的典范除子均为 ample，确保曲面为一般型且无非平凡的双有理自同构。
• 双 canonical 映射为双有理映射，这与 Inoue 曲面中其为度2且为对合复合的情况形成鲜明对比。
• 曲面在三个对合作用下的商曲面分别具有 Kodaira 维数$-\infty$、$0$ 和 $1$，实现了 [bidoubleplane] 和 [Lee] 中提出的新数值可能性。
• 通过应用 [BlochInoue] 的结果，验证了曲面满足 Bloch 的猜想，即$H^2(S, \mathcal{O}_S) = 0$蕴含零维代数的 Chow 群平凡。
• 通过度数为1的弱Del Pezzo曲面的$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$-覆叠构造的曲面族，与 Inoue 曲面不等价，这一点由双有理双 canonical 映射及商曲面不变量所证实。