[论文解读] A new Hamiltonian formalism for singular Lagrangian theories

Steven Duplij|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2009

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新的哈密顿形式，用于奇异拉格朗日理论，通过使用多维克莱罗方程的混合解来推广当海森矩阵为零时的勒让德变换。该形式通过非李括号表述了哈密顿形式的运动方程，通过排除非动力学共轭动量并将退化坐标视为参数，避免了约束，从而实现了对奇异系统的自洽描述，且无需引入狄拉克型约束。

ABSTRACT

We introduce a version of the Hamiltonian formalism based on the Clairaut equation theory, which allows us a self-consistent description of systems with degenerate (or singular) Lagrangian. A generalization of the Legendre transform to the case, when the Hessian is zero is done using the mixed (envelope/general) solutions of the multidimensional Clairaut equation. The corresponding system of equations of motion is equivalent to the initial Lagrange equations, but contains "nondynamical" momenta and unresolved velocities. This system is reduced to the physical phase space and presented in the Hamiltonian form by introducing a new (non-Lie) bracket.

研究动机与目标

• 开发一种自洽的奇异拉格朗日系统哈密顿形式，当标准勒让德变换因海森矩阵为零而失效时适用。
• 通过多维克莱罗方程的混合（包络/通解）解，推广勒让德变换。
• 通过排除非动力学共轭动量并将退化坐标视为参数，消除对约束的依赖。
• 推导出一个类似于哈密顿的方程组，其与原始拉格朗日方程等价，且不引入辅助条件。
• 引入一种新的非李括号，用于描述时间演化，即使在雅可比恒等式与反对称性失效的情况下，仍能实现哈密顿形式化。

提出的方法

• 通过克莱罗对偶变换推广勒让德变换，该变换通过求解多维克莱罗方程来处理退化拉格朗日量。
• 在克莱罗方程中区分动力学共轭动量 $ p_A $ 与参数 $ \bar{p}_A $，以允许混合解的存在。
• 基于物理与数学原因，仅使用正则共轭动量 $ p_i $ 构建受限相空间，排除退化共轭动量 $ \bar{p}_\alpha $。
• 通过一种新括号 $ \{X,Y\}_F $ 推导运动方程，该括号结合了标准泊松括号与涉及场强 $ F_{\alpha\beta} $ 及其逆矩阵 $ \bar{F}^{\alpha\beta} $ 的项。
• 当场强矩阵具有满秩时，通过 $ v^\beta = D_\alpha H_0 \bar{F}^{\alpha\beta} $ 代数求解速度。
• 通过方程 (28)–(29) 以哈密顿形式呈现系统，其中时间演化由新括号 (30) 控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当海森矩阵为零时，如何将勒让德变换推广至奇异拉格朗日系统？
• RQ2 多维克莱罗方程的混合解在构建一致哈密顿形式中起什么作用？
• RQ3 是否可以在奇异理论中不引入约束而构建哈密顿系统？
• RQ4 新非李括号 $ \{X,Y\}_F $ 如何控制具有退化速度的系统的演化？
• RQ5 为何从相空间中排除退化共轭动量 $ \bar{p}_\alpha $ 在物理与数学上具有合理性？

主要发现

• 通过克莱罗方程实现的广义勒让德变换，即使在海森矩阵为零时，也能实现一致的哈密顿形式化，其适用范围超越标准勒让德-芬赫尔变换。
• 方程组 (22)–(24) 与原始拉格朗日方程等价，确保了物理一致性。
• 退化共轭动量 $ \bar{p}_\alpha $ 被从相空间中排除，因为它们无法被解析为速度，且不具有动力学意义。
• 新括号 $ \{X,Y\}_F $（定义于方程 (30)）控制时间演化，其具有非反对称性与非雅可比性，因此无法用于标准量子化。
• 当场强矩阵 $ F_{\alpha\beta} $ 具有满秩 $ n-r $ 时，速度 $ v^\alpha $ 可代数求解，从而实现哈密顿形式。
• 该方法通过不包含非动力学共轭动量，完全避免了约束，因此无需像狄拉克方法那样进行约束分析。