[论文解读] A new Laplace operator in Finsler geometry and periodic orbits of Anosov flows

Thomas Barthelmé|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 58被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新的Finsler几何中的动力Laplace算子，该算子为线性、椭圆型、对称且二阶的，推广了黎曼几何中的Laplace-Beltrami算子。该文建立了其谱性质，并将其应用于研究扭曲的$$\mathbb{R}$-覆盖Anosov流中的周期轨道，证明了Finsler-Laplacian第一特征值的动力学上界与调和测度存在的结果。

ABSTRACT

In the first part of this dissertation, we give a new definition of a Laplace operator for Finsler metric as an average, with regard to an angle measure, of the second directional derivatives. This operator is elliptic, symmetric with respect to the Holmes-Thompson volume, and coincides with the usual Laplace--Beltrami operator when the Finsler metric is Riemannian. We compute explicit spectral data for some Katok-Ziller metrics. When the Finsler metric is negatively curved, we show, thanks to a result of Ancona that the Martin boundary is Hölder-homeomorphic to the visual boundary. This allow us to deduce the existence of harmonic measures and some ergodic preoperties. In the second part of this dissertation, we study Anosov flows in 3-manifolds, with leaf-spaces homeomorphic to $\mathbb{R}$. When the manifold is hyperbolic, Thurston showed that the (un)stable foliations induces a regulating flow. We use this second flow to study isotopy class of periodic orbits of the Anosov flow and existence of embedded cylinders.

研究动机与目标

• 在Finsler几何中发展一个自然、几何动机明确的Laplace算子，使其在黎曼情形下退化为黎曼Laplace-Beltrami算子。
• 为新的Finsler-Laplacian建立谱理论，包括能量积分、Rayleigh商及谱的表征。
• 分析Finsler度量共形变换下该算子的行为。
• 利用动力与几何方法研究三维流形中扭曲的$$\mathbb{R}$-覆盖Anosov流的周期轨道。
• 证明在负曲率流形上，Finsler-Laplacian第一特征值的动态上界与拓扑下界。

提出的方法

• 通过测地流的动力形式、Cartan结构方程以及余切丛上的Legendre变换，定义Finsler-Laplacian。
• 利用Finsler度量及其Hessian，将该算子构造为二阶、线性、对称且椭圆型的微分算子。
• 以Holmes-Thompson体积形式$$\Omega^{F}\u0024$作为Laplace算子的参考测度，并推导其在Randers度量下的符号。
• 通过$H^{1}$空间与Rayleigh商应用谱理论，分析无界算子的谱与Friedrich扩张。
• 利用动力熵与流形的拓扑不变量，建立第一特征值的界。
• 运用势论、Martin边界与Anosov流动力学，证明Finsler-Laplacian调和测度的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Finsler几何中定义一个自然且几何一致的Laplace算子，使其在黎曼情形下退化为Riemannian Laplace-Beltrami算子？
• RQ2 新Finsler-Laplacian的谱性质是什么，特别是第一特征值，其与流形几何和动力学的关系如何？
• RQ3 Finsler-Laplacian在Finsler度量的共形变换下如何变化？
• RQ4 在Finsler几何背景下，Anosov流的动力学与周期轨道之间存在何种关系？
• RQ5 在负曲率Finsler流形上，Finsler-Laplacian的调和测度是否存在，其具有何种动力学性质？

主要发现

• 所提出的Finsler-Laplacian是一个线性、椭圆型、对称且二阶的微分算子，推广了黎曼Laplace-Beltrami算子。
• 该算子通过其符号与能量积分表征，其谱在$H^{1}$空间中定义良好，并具有Friedrich扩张。
• 对于Randers度量，Finsler-Laplacian的符号被显式计算，从而实现了在曲面上的谱分析。
• 在2-球面与环面配备KZ度量的情形下，本文计算了谱数据，包括特征值与特征函数。
• 通过测地流的拓扑熵，导出了第一特征值的动力学上界。
• 通过扭曲的$$\mathbb{R}$-覆盖Anosov流中周期轨道的共柱面类，建立了拓扑下界。
• Finsler-Laplacian的调和测度存在，且被证明是遍历的，从而将谱理论与Anosov动力学联系起来。