[论文解读] A new old class of maximal monotone operators

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|May 29, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用 22

一句话总结

本文证明，若任意一个极大单调算子的Fitzpatrick函数的共轭函数控制了对偶积，则该算子的所有Fitzpatrick函数均具有此性质。核心贡献在于证明此类算子恰好构成Simons先前定义的NI类，并且早期工作中使用的某个技术性辅助条件等价于共轭控制条件。

ABSTRACT

In a recent paper in Journal of Convex Analysis the authors studied, in non-reflexive Banach spaces, a class of maximal monotone operators, characterized by the existence of a function in Fitzpatrick's family of the operator which conjugate is above the duality product. This property was used to prove that such operators satisfies a restricted version of Brondsted-Rockafellar property. In this work we will prove that if a single Fitzpatrick function of a maximal monotone operator has a conjugate above the duality product, then all Fitzpatrick function of the operator have a conjugate above the duality product. As a consequence, the family of maximal monotone operators with this property is just the class NI, previously defined and studied by Simons. We will also prove that an auxiliary condition used by the authors to prove the restricted Brondsted-Rockafellar property is equivalent to the assumption of the conjugate of the Fitzpatrick function to majorize the duality product.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：即单个Fitzpatrick函数的共轭控制性质是否蕴含该极大单调算子的所有Fitzpatrick函数均具有相同性质。
• 澄清先前关于受限Brønsted-Rockafellar性质研究中所用辅助条件与共轭控制条件之间的关系。
• 证明具有此共轭控制性质的极大单调算子族恰好是Simons所定义的NI类。
• 通过消除对辅助假设的依赖，统一并加强非自反Banach空间中关于受限Brønsted-Rockafellar性质的先前结果。

提出的方法

• 使用Fitzpatrick函数族 $\mathcal{F}_T$ 及其共轭分析对偶积的控制条件。
• 应用 $\mathcal{J}$-变换 $\mathcal{J}h(x,x^*) = h^*(x^*,x)$ 来关联 $\mathcal{F}_T$ 中的函数并保持其性质。
• 将 $\mathcal{S}_T$-函数定义为 $\mathcal{F}_T$ 的上确界，证明 $\mathcal{S}_T^* \geq \pi_*$ 当且仅当满足共轭控制条件。
• 通过极限论证和范数估计，建立早期工作中辅助条件与共轭控制条件之间的等价性。
• 利用 $\mathcal{S}_T = \operatorname{cl\,conv}(\pi + \delta_T)$ 的事实，推导出关键不等式 $\mathcal{S}_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*, x^{**} \rangle$。
• 使用 $\varepsilon$-网和范数估计的扰动论证，证明 $g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2$ 在 $X \times X^*$ 上的下确界为零，从而证明条件之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若存在一个Fitzpatrick函数，其共轭函数控制了对偶积，是否意味着该算子的所有Fitzpatrick函数均具有相同性质？
• RQ2 先前用于证明受限Brønsted-Rockafellar性质的辅助条件是否等价于Fitzpatrick函数共轭控制对偶积的条件？
• RQ3 能否完全刻画具有共轭控制型Fitzpatrick函数的极大单调算子类？
• RQ4 该算子类是否恰好是Simons所定义的NI类？
• RQ5 在非自反Banach空间中，$\mathcal{S}_T$-函数的共轭与对偶积之间存在何种关系？

主要发现

• 若一个极大单调算子的某个Fitzpatrick函数的共轭函数控制了对偶积，则该算子的所有Fitzpatrick函数均具有此性质。
• 使得某个Fitzpatrick函数的共轭函数控制对偶积的极大单调算子族，恰好是Simons先前定义的NI类。
• 早期工作中用于证明受限Brønsted-Rockafellar性质的辅助条件，等价于Fitzpatrick函数共轭控制对偶积的条件。
• $\mathcal{S}_T$-函数满足 $\mathcal{S}_T^* \geq \pi_*$ 当且仅当算子属于类型(NI)，从而建立了关键刻画。
• 通过范数估计和扰动论证，证明了四个条件（涉及共轭控制、$\mathcal{S}_T$-函数和受限Brønsted-Rockafellar性质）之间的等价性。
• $g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2$ 在 $X \times X^*$ 上的下确界为零，这是证明条件等价性的关键步骤。