[论文解读] A new polynomially solvable class of quadratic optimization problems with box constraints

Milan Hladík, Michal Černý+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于求解当二次矩阵的秩有常数上界时，带有框约束的二次优化问题。通过将问题约化为在低维空间中枚举一个平行多面体的面，该方法将先前结果推广至任意矩阵和线性项，从而在秩约束下以多项式时间求解更广泛的NP难问题。

ABSTRACT

We consider the quadratic optimization problem $\\max_{x \\in C}\\ x^T Q x + q^T x$, where $C\\subseteq\\mathbb{R}^n$ is a box and $r := \\mathrm{rank}(Q)$ is assumed to be $\\mathcal{O}(1)$ (i.e., fixed). We show that this case can be solved in polynomial time for an arbitrary $Q$ and $q$. The idea is based on a reduction of the problem to enumeration of faces of a certain zonotope in dimension $O(r)$. This paper generalizes previous results where $Q$ had been assumed to be positive semidefinite and no linear term was allowed in the objective function. Positive definiteness was a strong restriction and it is now relaxed. Generally, the problem is NP-hard; this paper describes a new polynomially solvable class of instances, larger than those known previously.

研究动机与目标

• 识别并求解一类新的、可在多项式时间内求解的带框约束二次优化问题。
• 将先前要求矩阵半正定且线性项为零的结果推广至任意矩阵和一般线性目标函数。
• 开发一种在二次矩阵的秩被常数有界时仍保持多项式时间复杂度的方法。
• 提供一种构造性方法，用于在不改变其行为的前提下最小化二次型表示的矩阵秩。
• 实现对具有半正定矩阵和线性项的二元二次规划问题的高效求解。

提出的方法

• 该方法将原始问题约化为在维度为 O(r) 的低维空间中的变换，其中 r 是二次矩阵 Q 的秩。
• 它在 R^{2r} 中构造一个平行多面体，其面与原始框约束集 C 的面一一对应。
• 该算法枚举该平行多面体的所有面，并在每个面上检查目标函数的驻点。
• 对于每个面，通过求解由一阶最优性条件导出的线性方程组，识别候选最大值点。
• 该方法使用符号向量表示法，系统地探索平行多面体的面格结构。
• 它利用了目标函数在每个面的驻点集合上为常数的性质，从而实现高效评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 当海森矩阵的秩有界时，即使矩阵为不定矩阵，带有框约束的二次优化问题是否仍可在多项式时间内求解？
• RQ2 如何将框约束的面枚举转化为一种适合多项式时间计算的低维几何结构？
• RQ3 给定一个二次型，其可实现的最小矩阵秩是多少？如何高效计算该最小秩？
• RQ4 所提出的方法能否扩展以避免存储整个面格结构，从而降低内存复杂度？
• RQ5 该方法在多大程度上可应用于具有半正定矩阵和线性项的二元二次规划问题？

主要发现

• 当矩阵 Q 的秩 r 为 O(1) 时，即使 Q 为不定矩阵且线性项 q 任意，该问题仍可在多项式时间内求解。
• 该方法推广了先前要求 Q 为半正定且 q = 0 的结果。
• 表示给定二次型的矩阵的最小可实现秩为 max(p, q)，其中 (p, q, s) 为该型的符号差。
• 该算法正确，通过枚举维度为 O(r) 的平行多面体的面，可保证找到全局最大值。
• 由于需要存储整个面格，该方法内存消耗较大，但当秩有界时仍保持多项式时间复杂度。
• 可显式构造出使二次型秩最小化的变换，从而提高计算效率。